breakplaining: Kinematik und Vektoren //2562

Nachdem ich neulich über Differentialgleichungen geschrieben habe, wollte ich heute eigentlich mit Newton-Mechanik weitermachen.
Aber ich glaube, es ist besser für die Verständlichkeit, wenn ich vorher noch einen kurzen Eintrag bringe, der die Grundlagen von Kinematik und Vektorrechnung zusammenfasst.
Da ich die darauf aufbauenden Einträge bereits vorgeschrieben habe, werde ich mich dann wohl an der einen oder anderen Stelle wiederholen. Sei’s drum.

Die Welt, so wie wir sie seit Jahrtausenden beobachten konnten, ist dreidimensional. D.h. jeder Ort lässt sich eindeutig durch drei geeignete, voneinander unabhängige Koordinaten beschreiben.
Wir können jeden Punkt als Vektor r = (x, y, z) schreiben. Üblicherweise kennzeichnet man einen Vektor durch einen kleinen Pfeil über dem Buchstaben (hier r), was ich aber mit plain Text nicht machen kann. Auch unterstrichene, fettgedruckte oder alte deutsche Buchstaben kommen als Symbole für Vektoren vor. Normalerweise schreibt man einen Vektor als Spalte mit den einzelnen Komponenten übereinander und das ganze in runden Klammern. Ich ziehe hier die Schreibweise als Zeilenvektor vor, die für die betrachteten Use Cases ausreicht.
Eine einzelne Komponente eines dreidimensionalen Vektors schreibt man meist mit x, y oder z als Subskript, oder mit einem Subindex von 1 bis 3 (wenn jetzt die ganz Schlauen einwenden, dass man ja mit 0 anfangen sollte zu zählen – ja, das macht man in der Viererschreibweise mit dem Index 0 für die Zeitkomponente, brauchen wir aber in der klassischen Mechanik nicht, sondern erst in der Relativitätstheorie).

Innerhalb unseres dreidimensionalen Raumes sind Bewegungen möglich. Unter einer Bewegung verstehen wir, dass sich mindestens eine der drei Ortskoordinaten (abhängig von der Zeit) verändert.
Die zeitliche Änderung des Ortes dr/dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = (vx, vy, vz) = v nennen wir Geschwindigkeit. Die zweite Ableitung des Ortes, bzw. die erste Ableitung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung a = (ax, ay, az).

Die Länge, bzw. den Betrag |r|eines Vektors berechnet man à la Pythagoras, indem man sämtliche Komponenten quadriert, diese Quadrate aufsummiert, und aus der Summe die Quadratwurzel zieht.
Vektoren lassen sich addieren oder subtrahieren, indem man jede einzelne Komponente addiert bzw. subtrahiert (ai = bi + ci, mit i Index 1 .. 3).
Vektoren lassen sich mit einem Skalar s multiplizieren, indem man jede einzelne Komponente mit diesem multipliziert (ai = s*bi).
Vektoren lassen sich auf zwei verschiedene Weisen miteinander multiplizieren. Beim Skalarprodukt werden die einzelnen Komponenten paarweise multipliziert und aufsummiert. Das Ergebnis ist ein Skalar, der das Produkt aus den Beträgen der Eingangsvektoren und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels bildet. Skalarmultipliziert man einen Vektor mit sich selbst, erhält man das Quadrat seines Betrags.
Das Kreuzprodukt wie es aus der Schulmathematik bekannt ist, ist nur im dreidimensionalen Raum sinnvoll. Dabei werden auf bestimmte Weise die Einzelkomponenten über Kreuz miteinander multipliziert und voneinander abgezogen (a1 = b2*c3 – b3*c2, und analog zyklisch), so dass schließlich wieder ein (Pseudo-)Vektor herauskommt. Ich erspare euch weitere Details, sowie einen Exkurs auf das Levi-Civita-Symbol (auch bekannt als Epsilon-Tensor, obwohl es gar kein Tensor ist; hat auch nichts mit den Jeans zu tun). Der Ergebnisvektor steht auf beiden Eingangsvektoren senkrecht. Sein Betrag entspricht der Fläche des von den Eingangsvektoren aufgespannten Parallelogramms, bzw. dem Produkt ihrer Beträge mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.

Bestimmt habe ich schon das eine oder andere Mal den Operator Nabla erwähnt. Nabla wird als Formelzeichen durch ein auf dem Kopf stehendes gleichseitiges Dreieck dargestellt, das durch einen Vektorpfeil gekrönt wird. Die Einzelkomponenten sind die partiellen Ableitungen nach den jeweiligen Ortskoordinaten.
Wendet man Nabla auf eine skalare Funktion f(x,y,z) an, so finden sich im Ergebnisvektor die partiellen Ableitungen dieser Funktion. Diese Anwendung von Nabla nennt man auch Gradient (grad).
Nabla lässt sich auf eine vektorielle Funktion (i.e. eine Funktion, die aus drei Komponenten besteht) anwenden. Bildet man das Skalarprodukt, erhält man ein skalares Feld. Die Skalarmultiplikation (streng genommen ist das keine Multiplikation im eigentlichen Sinn, wird aber komponentenweise analog berechnet) von Nabla mit einem Vektorfeld nennt man Divergenz (div), und sie veranschaulicht die Quellen und Senken des Vektorfeldes.
Ihr könnt es euch inzwischen bestimmt schon denken, dass es auch ein Kreuzprodukt von Nabla mit einem Vektorfeld gibt. Dieses wird als Rotation (rot) bezeichnet, und liefert einen Pseudovektor als Ergebnis, der die Wirbel des Vektorfeldes beschreibt.
Viel mehr über Vektoranalysis müsst ihr an dieser Stelle nicht wissen, vielleicht noch, dass die Integralsätze von Gauß und Stokes das mathematische Rüstzeug geben, mit Divergenz und Rotation weiterzuarbeiten.

Bevor euch der Kopf schwirrt von Begriffen, die ihr eigentlich nicht braucht, nur weil ich mal wieder vom Hundertsten ins Tausendste komme, belasse ich es bei diesen Grundlagen.