breakplaining: Differentialgleichungen //2556

Wenn ich heute in einem Prosatext versuche zu erklären, was eine Differentialgleichung ist, so ist meine Zielgruppe ziemlich klein.
Diejenigen, die bereits wissen, was eine Dgl. ist, werden nichts Neues erfahren. Wer aus der Schule (oder sonst woher) keinerlei Erinnerung hat, was es mit Differentiation und Ableitungen auf sich hat, wird nicht genug verstehen, um einen Gewinn aus meinem Text zu ziehen (auch noch die zugrundeliegende Differentialrechnung oder gar Grenzwerte vorher zu erklären, würde wirklich zu weit führen). So wende ich mich heute vornehmlich nur an diejenigen dazwischen, denen Differenzierung zwar noch ein (zumindest vager) Begriff ist, die darüber hinaus aber noch nie etwas mit Differentialgleichungen zu tun hatten.
Ziel dieses Eintrags ist es, das Konzept der Differentialgleichung verständlich zu machen, und einen ersten Eindruck davon zu geben, wie man mit ihnen umgeht.
Nur ganz knapp zur Rekapitulation: die Ableitung f'(x) = df/dx einer Funktion f(x) stellt die Änderung dieser Funktion am Punkt x dar. Das ist im Prinzip die Steigung der Tangente an diesem Punkt.

Wer sich noch daran erinnert, wie man die Ableitung der Exponentialfunktion e^x berechnet, der weiß, dass diese Ableitung dann ebenfalls e^x ist. Also ist f'(x) = f(x). Und da hätten wir bereits unsere erste Dgl., in der ein Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitung besteht. Die Lösung wäre in diesem Fall die genannte e-Funktion.
Eine Differentialgleichung bestimmt den Verlauf und das Verhalten der Funktion, indem sie eine Beziehung mit deren Ableitungen vorgibt.
Während bei üblichen, (z.B. algebraischen) Bestimmungsgleichungen (z.B. 3*x – 6 = 0) die Lösung eine [oder auch mehrere] Zahl[en] (im Beispiel x = 2) ist, ist die Lösung einer Differentialgleichung eine Funktion (bzw. eine Funktionenschar, die zusammen mit den Anfangsbedingungen eine Funktion bestimmt). Bei einer Dgl. n-ter Ordnung besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und ihrer bis zu n-ten Ableitung. Eine gewöhnliche Dgl. ist nur von einer Variablen abhängig.

Ein weiteres Beispiel wäre f'(x) = 0. Bedeutet, dass sich die Funktion f(x) nicht ändert, also konstant ist.
Wenn f'(x) = 1, dann ist die Änderung konstant. Also ist die Lösung eine Gerade f(x) = x (ggf. bis auf eine additive Konstante).
Einfache Differentialgleichungen wie f'(x) = x lassen sich nach Separation der Variablen durch Integration lösen. Man erhält in diesem Fall f(x) = x^2/2.
Es gibt weitere Möglichkeiten, Differentialgleichungen zu lösen. Welche das genau sind, führt hier zu weit. Es reicht zu wissen, dass analytische Wege oft nicht zum Ziel führen, sogar numerische nicht immer. Für gewöhnlich macht man halt einen Ansatz, und überprüft, ob der die Dgl. erfüllt. Wenn ja, ist sie gelöst, ansonsten probiert man etwas anderes. Ein allgemeines erfolgversprechendes Verfahren gibt es nicht.

Häufig kommen in der Physik Differentialgleichungen der Form f“(x) = -f(x) vor (f“ ist dabei die zweite Ableitung d^2 f/dx^2). Ich überlasse es euch zunächst einmal, sich die Lösung zu überlegen. Das sollte mit Abiturwissen ohne weiteres möglich sein.

Auch das war eine lineare Differentialgleichung. Bei nicht-linearen bestehen kompliziertere Zusammenhänge. Beispielsweise kann die Gleichung f'(x) = k * f(x) * (1 – f(x)) geeignet sein, die Ausbreitung einer Infektionskrankheit zu modellieren. Die Funktion f(x) geht dabei quadratisch ein, was bei ihrer Lösung zum Chaos führen kann.
Außer diesen gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es auch partielle, die von mehreren Variablen auf unterschiedliche Weise abhängen können. Und es gibt entsprechend ganze Differentialgleichungssysteme. Beispiele dafür werde ich bringen, wenn ich in künftigen Posts die Nutzung von Differentialgleichungen in der Theoretischen Physik betrachte.
Auf weitere Feinheiten wie den Unterschied zwischen homogenen und inhomogenen Differentialgleichungen will ich hier nicht eingehen.

In der Schulmathematik wird nur die Abhängigkeit der Funktion f von einer Variablen x betrachtet, und die Ableitung f‘ geschrieben. In der Physik ist die Ableitung nach der Zeit d/dt der häufigste Use case. Dafür hat es sich als Abkürzung eingebürgert, statt eines Strichchens danach einen Punkt über den Funktionsnamen zu schreiben. Das geht aber nicht mit ASCII-Text.

Schließlich noch die Auflösung der kleinen Aufgabe f“(x) = -f(x). Die Lösung ist eine Kombination aus A*sin(x) + B*cos(x), bzw. C*cis(x+D), wobei die Konstanten so zu wählen sind, dass die Phase zu den Anfangsbedingungen passt.

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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23 Antworten zu breakplaining: Differentialgleichungen //2556

  1. keloph schreibt:

    differentialgleichungen waren das gebiet der mathematik, dass ich nachmachen konnte, aber nie wirklich verstanden habe. ein bisschen lichtet sich der schleier der langen zeit dazwischen. ich finde, du hast das gut gemacht.

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  2. Plietsche Jung schreibt:

    42 plus ein Handtuch und das Leben ist lebenswert !
    Man muss aufpassen, dass man nicht ins technische Onanieren abgleitet – ah, ein Wortwitz 🙂

    Differentialgleichungen brauche ich in meinem Job zum Glück nicht mehr, aber ich sehe, wie planlos manche Bewertungen in der „natürlichen“ Wettervorhersage kläglich scheitern. Da berechne ich lieber Fraktale mit einer schnellen CPU. Das macht mehr Spass.

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  3. Sempersolus schreibt:

    Philosophisch nicht uninteressant.

    Wenn der menschliche Forscherdrang nicht auf den status quo, doch eigentlich nicht auf die bloße Feststellung von Ist-Zuständen, sondern auf die Entdeckung vereinfachender formelhafter Beschreibungen für deren Ursprung abzielt, dann sollte man doch auch meinen, dass die mathematischen Integrationswerkzeuge um eben diesen Ursprungsformeln auf die Schliche zu kommen auch über die Jahrhunderte auch vielfältiger, ausführlicher und besser ausgearbeitet sein sollten, als in die umgekehrte Richtung, von der Ursprungsgleichung zu deren Ableitungen.

    Das scheint aber kurioserweise in der Mathematik oft genau andersherum zu sein: während der Weg von einem bekannten Formelzusammenhang zu dessen Ableitungen ein mathematisch sehr formalisierter und eindeutiger ist, so gilt für den umgekehrten Weg, wie du schon richtig schreibst: „Für gewöhnlich macht man halt einen Ansatz, und überprüft, ob der die Dgl. erfüllt. Wenn ja, ist sie gelöst, ansonsten probiert man etwas anderes. Ein allgemeines erfolgversprechendes Verfahren gibt es nicht.“, wir begnügen uns zwangsläufig mit trial & error in der eigentlich doch wichtigeren Denkrichtung.

    Das fällt mir immer wieder auf: Unsere Art der Mathematik, unser allgemeines Verständnis von Kommunikation, Erfassung der Umwelt, etc., sie sind als Mittel zur Beschreibung vielleicht recht gut, ein zielgerichtetes Werkzeug zum tieferen Verständnis der Ursprünge sind sie dagegen deshalb noch lange nicht. Wir benutzen gleichsam Werkzeuge mit einer falschen Bewegungs- und Denkrichtung.

    Beispiel: Primzahlen kennen wir, wir können auch beschreiben, was sie sind und wie man sie erkennt, deren eigentlichen Geheimnissen, z. B. der Primfaktorzerlegung sehr großer Zahlen kommen wir mit den Mitteln unserer Mathematik aber nicht sehr gut bei.

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    • Es ist ein faszinierendes Thema, wie Natur und Mathematik miteinander zusammenhängen und verknüpft sind.
      Ich hoffe, es in den nächsten Wochen oder Monaten in verschiedenen Blogeinträgen rüberzubringen, wie es gelingt, die Mathematik als Werkzeug zu benutzen, das die Natur so scheinbar überraschend akurat beschreiben kann.
      Aber leider, leider, leider ist eine Beschreibung noch längst keine Erklärung.

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      • Sempersolus schreibt:

        Mathematik und Natur sind ganz zwangsläufig verknüpft. Mathematik ist Teil unseres globalen Verständnismodells und Abbildes für die Erklärung der Welt. Mathematik kann aufdecken. So entdecken wir mit Fibonacci im Romanesco die fraktale Welt für uns – doch Romanesco war längst vor dieser, unserer Entdeckung da und weiß von unserer Zahlenwelt gar nichts.

        Und doch limitiert Mathematik uns auch, bringt zwar Gegebenheiten in eine verständliche Form und geht darüber hinaus, wird dann aber sofort wieder abstrakt. Wir bleiben zu gefangen in unserer Erlebniswelt von Zeit und Raum, schon nicht mehr ganz triviale Mannigfaltigkeiten stellen unsere Vorstellungskraft vor eine Herausforderung: Wir können sie mathematisch beschreiben und mathematisch mit ihnen umgehen – aber sie denken?

        Wie wir in einem einfachen Gedankenexperiment zur Unendlichkeit leicht denken können: verschlüsselten wir alle uns bekannten und unbekannten Gegebenheiten der Zukunft, der Gegenwart und der Vergangenheit nach einem beliebigen mathematischen Code und täten wird das mit jeder zufällig möglichen oder auch nur theoretisch denkbaren und nicht denkbaren Variante davon und wählten auch den Code beliebig und schrieben das Ergebnis als unfassbar lange Zahl für uns auf: Es gäbe diese Zahl und alle Variationen davon längst irgendwo in den Nachkommastellen der Zahl pi. Ist also eine Zahl pi‘ denkbar, die die Zahl pi enthält und sie erklären kann und NICHT bereits in pi enthalten ist?

        Braucht man für die komplette Erklärung einer Welt in all ihren Einzelheiten (inklusive der gesamten Mathematik) nicht prinzipiell eine noch größere Welt, die zusätzlich neben der gesamten ersten Welt auch zusätzlich den Overhead der Erklärung erfassen kann und so fort …? Kann ein Mensch mit seinem Gehirn ein komplettes menschliches Gehirn mit all seinen Vorgängen erfassen und verstehen, oder bräuchte es dazu nicht erst ein Mensch + x – Gehirn?

        Wir denken oft, wir wären großartig und kämen dem, was wir „Natur“ nennen irgendwann komplett auf alle ihre Schliche und Tricks. Ich glaube, das ist prinzipbedingt unmöglich. Mathematik zeigt uns einen Hauch von unserem so unbedeutenden Sein und erzieht vor allem zu Bescheidenheit.

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  4. Ableitung ist Ordnung. Integrieren ist Kunst. Zitat aus dem Matheunterricht.

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