breakplaining: #TheoPhys #Mechanik – Lagrange //2593

Nachdem ich einiges zur Newton-Mechanik geschrieben habe, ist jetzt der Lagrange-Formalismus fällig.
Der Lagrange-Formalismus hat gegenüber dem Newton’schen Kraftansatz einige Vorteile. Man kann generalisierte Koordinaten benutzen, und auch Neben- und Zwangsbedingungen (z.B. Begrenzung der Bewegung auf einen bestimmten Raumbereich) relativ einfach miteinbeziehen.
Darauf möchte ich hier aber gar nicht eingehen. Es reicht erst mal, zu wissen, dass es Vorteile gibt. Insbesondere ist der Lagrange-Formalismus Grundlage für den Hamilton-Formalismus und somit indirekt auch für die darauf aufbauende Quantenmechanik.

Wir erinnern uns: Die Kraft F = m*a = -grad V. Dabei ist V das nur vom Ort abhängige Potential. a ist die Beschleunigung, also die Ableitung der Geschwindigkeit v nach der Zeit: a = dv/dt.
Um Schreibarbeit zu sparen, beschränken wir uns o.B.d.A. auf eine Koordinate q. Dann ist v = dq/dt. Für die anderen Koordinaten gilt entsprechendes.
Wer jetzt eine hochwissenschaftliche Herleitung erwartet, den muss ich leider enttäuschen. Die mathematischen Feinheiten führen zu weit. Ich werde eine stark vereinfachte, reduzierte Heuristik bringen. Aber etwas viel anderes ist es auch gar nicht.

Es gilt nach Newton m * dv/dt = -grad V.
Bei konstanter Masse lässt sich die Gleichung leicht über die Ortskoordinate integrieren zu m* v^2/2 = -V.
Auf der linken Seite befindet sich nun die kinetische Energie, die wir im Folgenden als T schreiben werden. Es ist T(v) = -V(q), bzw. T + V = const. (Energieerhaltung).
Die Lagrangefunktion lautet L = T – V. Wenn ihr mich fragt, warum das so ist, und welche physikalische Realität sie abbildet, kann ich euch keine befriedigende, leicht verständliche Antwort geben. Alles sehr heuristisch, aber es funktioniert.
Bei der Beschreibung des Formalismus stoße ich spätestens jetzt auf die Beschränkungen von ASCII/ANSI. Eigentlich ist die Lagrange-Gleichung eine ästhetisch einfache Formel, aber ich kann sie mit reinem Text nicht mehr lesbar darstellen. Also beschreibe ich sie verbal.
Ich kann euch nur raten, einen Zettel zu nehmen, und entsprechend meiner Ausführungen dort mitzuschreiben. Man lernt viel nachhaltiger, wenn man die Gleichungen einfach mal hinschreibt, und prägt es sich besser ein.
Der Lagrangeformalismus liefert für jede Koordinate eines jeden einbezogenen Körpers eine eigene Differentialgleichung (so wie bei Newton auch), die auch als Bewegungsgleichungen bekannt sind.

Da (o.B.d.A.) rechts des Gleichheitszeichens eine 0 steht, betrachten wir die linke Seite, die aus einer Differenz besteht. Der Minuend weist uns an, die Lagrangefunktion partiell nach der Geschwindigkeit zu differenzieren. Da nur die kinetische Energie T von der Geschwindigkeit abhängt, erhalten wir als Ableitung m*v, was dem Impuls p entspricht. Dieser Impuls soll weiter nach der Zeit differenziert werden. Somit ergibt sich für den Minuenden zunächst d(m*v)/dt. Der Subtrahend ist die partielle Ableitung der Lagrangefunktion nach der Ortskoordinate q. Nur die potentielle Energie ist (bei konservativen Kräften) ortsabhängig. Der Subtrahend wird also zu -dV/dq, was wieder gleich der Kraft ist.
Insgesamt erhalten wir wieder d(m*v)/dt – F(q) = 0.

Als Beispiel nehmen wir wieder unseren Körper mit Masse m im homogenen Schwerefeld mit Ortsfaktor g gegen die z-Richtung. Den Startpunkt legen wir in den Koordinatenursprung. Zur Vereinfachung drehen wir das Koordinatensystem so, dass die Komponente der Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung gleich 0 ist. Dann dürfen wir diesen Freiheitsgrad schon mal getrost vergessen. Als Physiker darf man das Koordinatensystem immer so legen, wie es einem am zweckmäßigsten erscheint. [Anderen Kram wie Luftreibung oder Corioliskraft vernachlässigen wir.]
Die Lagrangefunktion L = T – V = m/2 * (vx^2 + vz^2) – m*g*z.
Die partielle Ableitung nach vx ist m*vx, die nach x ist gleich 0.
Entsprechend nach vz abgelitten, ergibt m*vz, und nach z gleich -m*g.
Für die x-Richtung ergibt sich also die Bewegungsgleichung d(m*vx)/dt = 0, also eine konstante Geschwindigkeitskomponente, und somit eine geradlinige, gleichförmige Bewegung.
Für z erhalten wir d(m*vz)/dt + m*g = 0, deren Lösung wieder (ich wiederhole das nicht im Einzelnen) eine quadratische Abhängigkeit der z-Komponente von der Zeit ergibt. Zusammen mit einer linearen Bewegung in x-Richtung entspricht das einer Parabel.
Wäre auch überraschend gewesen, wenn etwas anderes herausgekommen wäre, als beim Kraftansatz nach Newton.

Man sollte wirklich keinen allzu tiefen Sinn dahinter suchen. Es funktioniert, und das genügt.

Inzwischen ist hoffentlich rübergekommen, dass die Physik die Natur nicht erklärt, sondern sie lediglich beschreibt.
Ich korrigiere: „.. sondern lediglich versucht, den von uns beobachtbaren Teil der Natur zu beschreiben.“


\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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5 Antworten zu breakplaining: #TheoPhys #Mechanik – Lagrange //2593

  1. keloph schreibt:

    die nachsätze sind wichtig.

    Gefällt 1 Person

  2. pingpong schreibt:

    Ist das ganze verwandt mit der Euler-Lagrange Gleichung aus der Optimierung bzw. Variationsrechnung? Auch hier scheint es irgendwie darum zu gehen, die Systemkonfiguration mit der kleinsten Energie zu berechnen (vgl. Prinzip der kleinsten Wirkung). Ich habe einen möglichen Zusammenhang aus dem Blogpost heraus leider nicht verstanden.

    Gefällt 1 Person

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