breakplaining: Orthogonale Koordinatensysteme //1811

Ursprünglich wollte ich zur Feier des Frühlingsbeginns (wenngleich es noch winterlich kalt ist) heute um 17:15 UTC+1 Uhr etwas über Eulerwinkel breakplainen. Aber das ist recht kompliziert, so dass ich es erst einmal zurückstelle, und stattdessen einfach mal ein bisschen über orthogonale Koordinatensysteme (aus Physikersicht, d.h. ich konzentriere mich auf die Beschreibung unseres gewöhnlichen Raumes, in dem die Realität stattfindet) erzähle.

Orthogonale Koordinatensysteme haben die Besonderheit, dass die Einheitvektoren in Koordinatenrichtung senkrecht aufeinander stehen.
Wohl jedem ist das Kartesische Koordinatensystem mit festen Achsen bekannt. In der zweidimensionalen Ebene geht o.B.d.A. die x-Koordinate von links nach rechts, während y-Achse von unten nach oben verläuft. So wie beschrieben, handelt es sich um ein Rechtssystem (ein Beispiel für ein Linkssystem wären die Koordinaten von Graphik auf Computermonitoren bzw. Gerätekontexten beschrieben durch Spalte und Reihe).
Nehmen wir auch noch die dritte Dimension, so kommt die z-Achse hinzu, die auf beiden senkrecht steht. Auch die Raum-Zeit lässt sich durch ein orthogonales Koordinatensystem beschreiben, da die Zeit (0-Komponente von Vierervektoren) mathematisch gesehen orthogonal (d.h. das Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist null) zu sämtlichen Raumrichtungen steht.

Ein weiteres wichtiges Koordinatensystem sind Polarkoordinaten. In der Ebene bestehen diese aus dem Betrag oder Radius r, d.h. dem Abstand zum Ursprung, und dem Argument oder Azimut, also dem Winkel, den der Ortsvektor mit der x-Achse einschließt.
Die jeweiligen Umrechnungen sind einfach:
x = r * cos (phi), y= r * sin(phi)
r = sqrt(x^2 + y^2), phi = arctan(y/x) (+ pi, falls y negativ ist)

Um die Polarkoordinaten auf drei Dimensionen zu erweitern, bieten sich am einfachsten Zylinderkoordinaten an. Hier fungiert z als dritte Koordinate. Es ist zu beachten, dass r hier der Abstand zur z-Achse ist. Um Verwechslungen zu vermeiden, schreibt man dann auch oft rho statt r.
Die andere gebräuchliche Möglichkeit sind sphärische oder Kugelkoordinaten.
Zum Abstand r vom Ursprung und Azimutwinkel phi kommt noch der Polarwinkel theta zwischen dem Ortsvektor und der Richtung der z-Achse. Die Umrechnungen sind etwas länglicher, so dass ich darauf verzichte, sie niederzuschreiben.

Ach, damit kann man so viele schöne Berechnungen machen. Beispielsweise ist ein Volumenelement im dreidimensionalen Kartesischen Koordinatensystem dx*dy*dz, während es in spärischen Koordinaten r^2*sin(theta)*dr*dtheta*dphi ist.

Zur Lösung vieler physikalischer Probleme, ist es essentiell, ein geeignetes Koordinatensystem zu wählen. Man tut sich oft viel leichter, wenn man bestehende Symmetrien ausnutzt, um einen Ansatz zu formulieren.

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Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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29 Antworten zu breakplaining: Orthogonale Koordinatensysteme //1811

  1. Talianna schreibt:

    Die Besserwisserin in mir erklärt gerade:
    Theta als Winkel gegen den Zenit bei Kugelkoordinaten ist nur eine Wahl. Gelegentlich wird auch mit Elevation, also (ein anderes) Theta gegen die Azimut-Ebene gewählt – Blick nach unten für Elevationen zwischen Azimut/Horizont-Ebene und Nadir mit negativem Theta und entsprechend positiven Thetas mit Blick nach oben, zwischen Horizont und Zenit.
    Aber ich gehe davon aus, dass Du das kennst und bewusst eine Auswahl getroffen hast 🙂

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  2. wollesgeraffel schreibt:

    Mal wieder nichts verstanden, aber schwer beeindruckt. 🙄

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  3. Plietsche Jung schreibt:

    Einen Teil habe ich wiedererkannt, den Rest pfeife ich mir rein, wenn ich demnächst zum Mars fliege.

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  4. blindfoldedwoman schreibt:

    Bis zum dreidimensionalem Koordinatensystem komme ich auch, damit arbeite ich jeden Tag in verschiedenen Perspektiven.

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  5. Pingback: Wie man [eine Matratze umdreht|sich bettet, so liegt man] //1900 | breakpoint

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