breakplaining: Orthogonale Koordinatensysteme //1811

Ursprünglich wollte ich zur Feier des Frühlingsbeginns (wenngleich es noch winterlich kalt ist) heute um 17:15 UTC+1 Uhr etwas über Eulerwinkel breakplainen. Aber das ist recht kompliziert, so dass ich es erst einmal zurückstelle, und stattdessen einfach mal ein bisschen über orthogonale Koordinatensysteme (aus Physikersicht, d.h. ich konzentriere mich auf die Beschreibung unseres gewöhnlichen Raumes, in dem die Realität stattfindet) erzähle.

Orthogonale Koordinatensysteme haben die Besonderheit, dass die Einheitvektoren in Koordinatenrichtung senkrecht aufeinander stehen.
Wohl jedem ist das Kartesische Koordinatensystem mit festen Achsen bekannt. In der zweidimensionalen Ebene geht o.B.d.A. die x-Koordinate von links nach rechts, während y-Achse von unten nach oben verläuft. So wie beschrieben, handelt es sich um ein Rechtssystem (ein Beispiel für ein Linkssystem wären die Koordinaten von Graphik auf Computermonitoren bzw. Gerätekontexten beschrieben durch Spalte und Reihe).
Nehmen wir auch noch die dritte Dimension, so kommt die z-Achse hinzu, die auf beiden senkrecht steht. Auch die Raum-Zeit lässt sich durch ein orthogonales Koordinatensystem beschreiben, da die Zeit (0-Komponente von Vierervektoren) mathematisch gesehen orthogonal (d.h. das Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist null) zu sämtlichen Raumrichtungen steht.

Ein weiteres wichtiges Koordinatensystem sind Polarkoordinaten. In der Ebene bestehen diese aus dem Betrag oder Radius r, d.h. dem Abstand zum Ursprung, und dem Argument oder Azimut, also dem Winkel, den der Ortsvektor mit der x-Achse einschließt.
Die jeweiligen Umrechnungen sind einfach:
x = r * cos (phi), y= r * sin(phi)
r = sqrt(x^2 + y^2), phi = arctan(y/x) (+ pi, falls y negativ ist)

Um die Polarkoordinaten auf drei Dimensionen zu erweitern, bieten sich am einfachsten Zylinderkoordinaten an. Hier fungiert z als dritte Koordinate. Es ist zu beachten, dass r hier der Abstand zur z-Achse ist. Um Verwechslungen zu vermeiden, schreibt man dann auch oft rho statt r.
Die andere gebräuchliche Möglichkeit sind sphärische oder Kugelkoordinaten.
Zum Abstand r vom Ursprung und Azimutwinkel phi kommt noch der Polarwinkel theta zwischen dem Ortsvektor und der Richtung der z-Achse. Die Umrechnungen sind etwas länglicher, so dass ich darauf verzichte, sie niederzuschreiben.

Ach, damit kann man so viele schöne Berechnungen machen. Beispielsweise ist ein Volumenelement im dreidimensionalen Kartesischen Koordinatensystem dx*dy*dz, während es in spärischen Koordinaten r^2*sin(theta)*dr*dtheta*dphi ist.

Zur Lösung vieler physikalischer Probleme, ist es essentiell, ein geeignetes Koordinatensystem zu wählen. Man tut sich oft viel leichter, wenn man bestehende Symmetrien ausnutzt, um einen Ansatz zu formulieren.

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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39 Antworten zu breakplaining: Orthogonale Koordinatensysteme //1811

  1. Talianna schreibt:

    Die Besserwisserin in mir erklärt gerade:
    Theta als Winkel gegen den Zenit bei Kugelkoordinaten ist nur eine Wahl. Gelegentlich wird auch mit Elevation, also (ein anderes) Theta gegen die Azimut-Ebene gewählt – Blick nach unten für Elevationen zwischen Azimut/Horizont-Ebene und Nadir mit negativem Theta und entsprechend positiven Thetas mit Blick nach oben, zwischen Horizont und Zenit.
    Aber ich gehe davon aus, dass Du das kennst und bewusst eine Auswahl getroffen hast 🙂

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  2. wollesgeraffel schreibt:

    Mal wieder nichts verstanden, aber schwer beeindruckt. 🙄

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  3. Plietsche Jung schreibt:

    Einen Teil habe ich wiedererkannt, den Rest pfeife ich mir rein, wenn ich demnächst zum Mars fliege.

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  4. blindfoldedwoman schreibt:

    Bis zum dreidimensionalem Koordinatensystem komme ich auch, damit arbeite ich jeden Tag in verschiedenen Perspektiven.

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  10. pingpong schreibt:

    „Ein weiteres wichtiges Koordinatensystem sind Polarkoordinaten. In der Ebene bestehen diese aus dem Betrag oder Radius r, d.h. dem Abstand zum Ursprung, und dem Argument oder Azimut, also dem Winkel, den der Ortsvektor mit der x-Achse einschließt.“

    Klugscheiß: Ein Polarkoordinatensystem erhält man, indem man einen beliebigen Ursprung sowie eine beliebige Achse als die Achse mit theta=0 definiert. Meistens wählt man es aus purer Bequemlichkeit so, dass die Achse theta=0 der horizontalen Achse entspricht.

    Ein Koordinatensystem ist immer eine Wahl, und sollte daher ohne Rückgriff auf ein „vordefiniertes“ Standardkoordinatensystem (x-Achse…) eingeführt werden. Die Euklidsche Ebene hat keine x-Achse eingebaut, sie hat überhaupt kein Koordinatensystem eingebaut.

    Und wenn mich mein löchriges Gehirn nicht trügt, dann sind Ortsvektoren natürlich kontravariant, nicht kovariant 😉

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    • Das ist ja das Gute an Koordinatensystemen, dass man sie legen kann wie man will: verschieben, drehen oder sonst passend transformieren.

      Bei einer nicht-gekrümmten Metrik (wie in einem Euklid’schen Raum) sind kontravariante und kovariante Vektoren gleich.

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      • pingpong schreibt:

        [nerdalarm]

        Bei einer nicht-gekrümmten Metrik (wie in einem Euklid’schen Raum) sind kontravariante und kovariante Vektoren gleich.

        Interessant, nach meinem Verständnis ist die Metrik (im engeren Sinn, also im Zusammenhang mit Vektoren) ein reines Artefakt des Koordinatensystems. In einem Euklidschen Raum kann man Geometrie betreiben (es gibt Punkte und Geraden als Verbindung zwischen Punkten und man kann Längen und Winkel messen), aber dazu braucht man kein Koordinatensystem. Haben die Geometer ja auch ca. 2000 Jahre lang nicht gehabt, bis im 17 Jhdt. René Descartes mit seinem kartesischen Koordinatensystem ankam.

        Hat man ein Koordinatensystem, stellt sich erstmal die Frage wie man die Begriffe Länge und Winkel überträgt. Das passiert mit Hilfe der Metrik, definiert üblicherweise mittels Skalarprodukt (also topologischer Vektorraum mit der zusätzlichen Struktur eines Skalaprodukts, Skalarprodukt induziert Norm und Metrik).

        Wie würdest du eine Euklidsche Ebene mit Polarkoordinatensystem bezeichnen? Alles folgt den Gesetzen der Euklidschen Geometrie, aber der metrische Tensor ist verschieden von der Einheitsmatrix und deshalb sind ko- und kontravariante Vektoren nicht dasselbe. Obwohl es natürlich immer noch eine Ebene ist, da krümmt sich nichts.

        Wenn der metrische Tensor die Einheitsmatrix ist, d.h. wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem verwendet, dann muss ich nicht darauf achten ob ich es mit Ko- oder Kontravarianz zu tun habe. Es funktioniert alles „richtig“, ich kann beliebig Vektoren addieren ohne darauf zu achten von welchem Punkt sie ausgehen usw.
        Aber Ortsvektoren sind trotzdem kontravariant 😉

        [/nerdalarm]

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        • AnDieRinderDenken schreibt:

          „nach meinem Verständnis ist die Metrik (im engeren Sinn, also im Zusammenhang mit Vektoren) ein reines Artefakt des Koordinatensystems“

          Metriken haben nicht notwendig irgendwas mit Koordinatensystemen zu tun. Einfach mal die Definition, z.B. auf Wikipedia, lesen. Für eine Metrik in einem Vektorraum braucht man nicht notwendig eine Basis. Und selbst wenn eine Basis zugrunde liegt, ist die Metrik kein „reines Artefakt“, sondern ein bewusstes zusätzliches Konstrukt, das ein Konzept „Abstand“ formal einführt.

          „Hat man ein Koordinatensystem, stellt sich erstmal die Frage wie man die Begriffe Länge und Winkel überträgt. Das passiert mit Hilfe der Metrik, definiert üblicherweise mittels Skalarprodukt“

          Bei Euklid gibt es keine Längen, nur Längenverhältnisse, denn die Einheitslänge ist frei wählbar, da es kein ausgezeichnetes Liniensegment gibt. Zu „übertragen“ in einen Vektorraum gibt es da also nichts, höchstens zu modellieren. Mit der Metrik ist das auch gar nicht möglich, denn die kommt im Vektorraum neu dazu im Vergleich zu Euklid. Die Metrik kann bestenfalls die Längenverhältnisse erhalten. Aber das können dann trivialerweise auch beliebig viele andere Metriken.

          Die Winkel bei Euklid sind in der absoluten Geometrie (Hilbert) Äquivalenzklassen kongruenter Geradenpaare. In Vektorräumen kriegt man Winkel direkt aus einem Skalarprodukt mittels der Norm, die dieses induziert. Aber nicht „mit Hilfe der Metrik“. Eine Metrik kriegt man auch aus der Norm, aber die braucht man nicht für Winkel.

          „(also topologischer Vektorraum mit der zusätzlichen Struktur eines Skalaprodukts, Skalarprodukt induziert Norm und Metrik)“

          Ein Vektorraum braucht in diesem Kontext keine Topologie, Skalarprodukt hin oder her.

          „der metrische Tensor ist verschieden von der Einheitsmatrix und deshalb sind ko- und kontravariante Vektoren nicht dasselbe.“

          Wenn der m.T. nicht die Einheitsmatrix ist, folgt daraus noch lange nicht, dass kovariant=kontravariant gilt. Die Einheitsmatrix ist ja nicht die einzige selbstinverse Matrix.

          „Aber Ortsvektoren sind trotzdem kontravariant“

          Nicht bloß Ortsvektoren, sondern jeder „freie“ Vektor. Kovariant transformieren sich immer nur Vektoren, die Resultat bestimmter Operationen sind, z.B. Gradienten. Euer ganzes Tensorgerede hier zeigt mal wieder deutlich, dass die meisten Physiker und Netzwissenschaftler von Differentialgeometrie keine Ahnung haben, aber gern mit Terminologie rumprotzen, während sie gerade mal die Mathematik der 11. Schulklasse beherrschen.

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    • AnDieRinderDenken schreibt:

      „Ein Koordinatensystem ist immer eine Wahl, und sollte daher ohne Rückgriff auf ein „vordefiniertes“ Standardkoordinatensystem (x-Achse…) eingeführt werden.“

      Koordinaten in einem Vektorraum bekommt man genau dann, wenn man eine Basis festlegt. Ob die Festlegung der Vektoren der Basis mit oder ohne „Rückgriff“ auf andere Koordinatensysteme erfolgt, ist schnuppe.

      „Meistens wählt man es aus purer Bequemlichkeit so, dass die Achse theta=0 der horizontalen Achse entspricht.“

      Finde den Widerspruch zur „ohne Rückgriff“ Aussage oben.

      „Die Euklidsche Ebene hat keine x-Achse eingebaut, sie hat überhaupt kein Koordinatensystem eingebaut.“

      Mit „Euklidischer Ebene“ ist hier natürlich der R^2 gemeint und nicht das von Euklid axiomatisch definierte konstruktive Kalkül, von welchem der R^2 ein MODELL ist.

      Kein Physiker beschäftigt sich rein mit den Axiomen von Euklid. Und der R^2 kommt selbstverständlich etwa mit der Standardbasis {(1,0) ; (0,1)} daher und somit mit einem Koordinatensystem.

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      • pingpong schreibt:

        Metriken haben nicht notwendig irgendwas mit Koordinatensystemen zu tun.

        Ok, für dich: …ist die Metrik (im engeren differentialgeometrischen Sinn also im Zusammenhang mit Vektoren) ein reines Artefakt des Koordinatensystems.

        Und selbst wenn eine Basis zugrunde liegt, ist die Metrik kein „reines Artefakt“, sondern ein bewusstes zusätzliches Konstrukt, das ein Konzept „Abstand“ formal einführt.

        Ein Konstrukt welches du einführen musst, damit du mit Koordinaten überhaupt Geometrie betreiben kannst – ohne das Konzept „Abstand“ bzw „Länge“ geht das nämlich nicht. In diesem Sinn ist es ein Artefakt des Koordinatensystems. Du musst kein Koordinatensystem verwenden um Geometrie zu betreiben, aber wenn du eines verwendest, dann brauchst du zusätzlich zum Koordinatensystem eben noch einen passenden Begriff von „Länge“, und den erhält man üblicherweise mit der Metrik (induziert vom Skalarprodukt). Die ganze Differentialgeometrie beschäftigt sich im wesentlichen damit, wie das mit den Koordinaten jetzt genau funktioniert. Du kennst den Witz „differential geometry is the study of properties that are invariant under change of notation“? 😉

        Bei Euklid gibt es keine Längen, nur Längenverhältnisse, denn die Einheitslänge ist frei wählbar, da es kein ausgezeichnetes Liniensegment gibt. Zu „übertragen“ in einen Vektorraum gibt es da also nichts, höchstens zu modellieren.

        Damit „Längenverhältnis“ überhaupt Sinn ergibt braucht man zuerst einmal einen Begriff von „Länge“, in diesem Sinn meinte ich es. Wenn dir „modellieren“ besser gefällt als „übertragen“ – von mir aus gerne 🙂

        In Vektorräumen kriegt man Winkel direkt aus einem Skalarprodukt mittels der Norm, die dieses induziert.

        Ja, das schrieb ich doch.

        Die Einheitsmatrix ist ja nicht die einzige selbstinverse Matrix.

        Da hast du natürlich recht. Der Kontext oben waren Polarkoordinaten in der Ebene als ein Beispiel für einen nicht gekrümmten Raum (Ebene), wo aber trotzdem kovariant != kontravariant ist. Es liegt eben am Koordinatensystem.

        Euer ganzes Tensorgerede hier…

        Warum so angriffig?

        Koordinaten in einem Vektorraum bekommt man genau dann, wenn man eine Basis festlegt. Ob die Festlegung der Vektoren der Basis mit oder ohne „Rückgriff“ auf andere Koordinatensysteme erfolgt, ist schnuppe.

        Ist m.E. eine epistemologische Frage. Im Kontext von Geometrie und Differentialgeometrie finde ich es sinnvoll, wenn man geometrische Vektoren (Pfeile) von Vektoren als Koordinatendarstellung von Elementen eines Vektorraums (Tupel von Zahlen) trennt. Damit ist explizit gemacht, dass ein Koordinatensystem eine (nicht eindeutige) Wahl ist, und dass Vektoren (Tupel von Zahlen) immer nur in Verbindung mit dem Koordinatensystem überhaupt Sinn ergeben. Tupel von Zahlen und geometrische Pfeile sind eben nicht dasselbe.

        Ich betrachte es umgekehrt: Die Basisvektoren bekommt man, indem man ein Koordinatensystem festlegt. Tupel von Zahlen bauen auf Geometrie auf, nicht umgekehrt.

        Finde den Widerspruch zur „ohne Rückgriff“ Aussage oben.

        Kein Widerspruch, ich schrieb „ohne Rückgriff auf ein vordefiniertes Koordinatensystem“.
        Die Definition: theta=0 entspricht der horizontalen Achse ist geometrisch und kommt ohne Koordinatensystem aus.

        Die Definition von Anne weiter oben („[theta ist der] Winkel, den der Ortsvektor mit der x-Achse einschließt“) benötigt eine x-Achse und vermischt geometrische Konzepte und Tupel von Zahlen.

        Mit „Euklidischer Ebene“ ist hier natürlich der R^2 gemeint und nicht das von Euklid axiomatisch definierte konstruktive Kalkül, von welchem der R^2 ein MODELL ist.

        Euklidsche Ebene ist eine Ebene in welcher die Geometrie von Euklid gültig ist. R^2 ist die Menge von 2-Tupeln reeller Zahlen. R^2 mit einem kartesischen Koordinatensystem und Skalarprodukt ist ein Modell der Euklidschen Ebene.

        Kein Physiker beschäftigt sich rein mit den Axiomen von Euklid. Und der R^2 kommt selbstverständlich etwa mit der Standardbasis {(1,0) ; (0,1)} daher und somit mit einem Koordinatensystem.

        R^n ist der einfachste Fall und gleichzeitig der verwirrendste, weil sowohl die Elemente des Vektorraums als auch deren Komponentendarstellung Tupel von Zahlen sind. Deshalb passiert es leicht, dass man diese Konzepte vermischt. In anderen Vektorräumen passiert das nicht so leicht, z.b. der Vektorraum P3 von Polynomen mit Grad <= 2. Der Vektor p = 2x^2+5 ist ein Element dieses Vektorraums, und mit der Basis {x^2,x,1} lautet seine Komponentendarstellung (2,0,5). Es ist klar, dass der Vektor (ein Polynom) und seine Komponentendarstellung (ein Tupel von Zahlen) verschiedene Dinge sind.

        Verwendet man im R^n die Standardbasis, wird es noch verwirrender. Nicht nur sind Vektoren und deren Komponentendarstellung beides Tupel von Zahlen, die Zahlen sind auch noch dieselben – so ist die Standardbasis definiert: Jeder Vektor ist gleich seiner Komponentendarstellung in Bezug auf die Standardbasis.

        Mit Koordinatensystemen hat das alles noch nicht viel zu tun. Ein Koordinatensystem bringt Geometrie ins Spiel und ist beliebig, auch im R^2 (oder R^n). Es identifiziert geometrische Pfeile (Punkte gegeben durch einen Ortsvektor) mit Tupeln von Zahlen mit Hilfe eines Koordinaten-Mappings. Ist R ein Ortsvektor in der Euklidschen Ebene E^2 (also ein geometrischer Vektor, kein Tupel von Zahlen!), dann ist ein Koordinaten-Mapping eine Funktion \varphi : \mathbb{E}^2 \to \mathbb{R}^2 : R \mapsto (x^1(R),x^2(R)) . Das Zahlentupel (x^1,x^2) sind die Koordinaten von R. Das mapping phi ist beliebig und nicht durch die Standardbasis oder sonst etwas vorgegeben (ein Homöomorphismus sollte es halt sein, sonst gibts Probleme).

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