breakplaining: #TheoPhys #Elektrodynamik – Maxwell //2636

Die Maxwell-Gleichungen sind vier vektoranalytische Differentialgleichungen, die das Verhalten elektrischer und magnetischer Felder und ihre Wechselwirkung mit elektrischen Ladungen und Strömen beschreiben.
In Materie (mit Eigenschaften wie etwa der Magnetisierung) ist der Sachverhalt komplizierter als im Vakuum, aber nicht grundlegend anders, so dass wir uns hier auf das Vakuum beschränken.

Ich fange mal mit der einfachsten an. div B = 0 bedeutet, dass die Divergenz der magnetischen Flussdichte B gleich null ist. Anders ausgedrückt, dass der magnetische Fluss quellenfrei ist. Und noch populärer ausgedrückt: Es gibt keine magnetischen Monopole.
Nach einer anderen Gleichung (Gauß’sches Gesetz) ist die Divergenz der elektrischen Feldstärke E proportional zur Ladungsdichte. Dies hat u.a. das Coulomb’sche Gesetz zur Folge, nämlich dass die Kraftwirkung elektrischer Ladungen quadratisch (gilt nur im flachen 3-dimensionalen Raum) mit dem Abstand abnimmt, und dass kein elektrisches Feld in einen Faraday-Käfig (eine elektrisch leitende Hülle) eindringen kann.
Das Faraday’sche Induktionsgesetz (die Rotation der elektrischen Feldstärke ist gleich der negativen zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte) beschreibt, wie Änderungen der magnetischen Flussdichte ein elektrisches Wirbelfeld erzeugen. Die Lenz’sche Regel beruht auf dem entgegengesetzten Vorzeichen.
Umgekehrt verursachen nach dem Durchflutungssatz (Ampère’sches Gesetz) elektrische Ströme magnetische Felder. Es gilt, dass die Rotation der magnetischen Flussdichte sich (bis auf konstante Faktoren) zusammensetzt aus Stromdichte der Ladungsträger und der zeitlichen Änderung der elektrischen Feldstärke.

Die beiden letztgenannten Gesetze wirken so zusammen, dass elektromagnetische Wechselfelder – sprich elektromagnetische Wellen – entstehen können.
Das lässt sich alles wunderschön berechnen. Auch beispielsweise, dass keine Felder aus Koaxialkabeln nach außen dringen.
Als Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen ergibt sich mathemagisch die Lichtgeschwindigkeit als reziproke Quadratwurzel des Produkts aus elektrischer und magnetischer Feldkonstante.

Es gibt die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form und integraler Form (in denen der Gauß’sche bzw. Stoke’sche Integralsatz angewandt wurden).
Mit Viererschreibweise reduziert sich die Anzahl der Maxwell-Gleichungen auf zwei in kovarianter Form. Das elektrische Potential und das magnetische Vektorpotential werden zum Viererpotential A zusammengefasst. Dann wird darauf aufbauend der (antisymmetrische) elektrodynamische Feldstärketensor F eingeführt, in dem elektrisches und magnetisches Feld als Tensorfelder in der Raumzeit beschrieben werden. Ebenso erhält man aus der skalaren Ladungsdichte und der vektoriellen Stromdichte eine Viererstromdichte. Über definierte Kombinationen der partiellen Ableitungen der Komponenten des Feldstärketensors erhält man eine homogene Gleichung (rechte Seite 0) und eine inhomogene Gleichung (rechte Seite proportional zur Viererstromdichte).

Die Maxwell-Gleichungen in der Elektrodynamik sind (zusammen mit der Berechnung der Lorentz-Kraft) ein ausgezeichnetes Beispiel dafür, wie ästhetisch und effizient die Mathematik die Natur beschreiben kann. Nur wenige, kurze Gleichungen sind nötig, um die gesamte Bandbreite elektromagnetischer Phänomene berechenbar zu machen.

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