breakplaining: #TheoPhys #Mechanik – Newton //2567

Newton’s „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ waren ein bahnbrechendes Werk, in dem erstmals exakt quantitative Berechnungen der Natur auf eine umfassende, theoretische Basis gestellt wurden.
Auch wenn wir mittlerweile wissen, dass der Gültigkeitsbereich der Newton-Mechanik beschränkt ist, also nicht für große Geschwindigkeiten, kleine Abstände oder große Massen anwendbar ist, liefert sie nach wie vor in unserem Alltagsleben die maßgebliche Methodik, Bewegungen von Körpern zu beschreiben. Dies wird sich auch nicht ändern, obwohl die darauf beruhenden Berechnungen nur Annäherungen an die Natur sind. Die Näherungen sind immerhin so gut, dass man sie beibehalten wird, zumal der Ansatz mit Kräften (Kraft ist das, was eine Bewegung verändert) so leicht verständlich und anschaulich ist, dass er in der Schule sogar in der Mittelstufe gelehrt wird.
Das erste Newton’sche Gesetz ist nur ein Spezialfall des zweiten, das eine Kraft als Produkt aus Masse m und Beschleunigung a definiert. Beim ersten ist die Kraft halt gleich null, weshalb sich die Geschwindigkeit des Körpers nicht verändert.
In feministischen Kreisen sind die Principia auch als „Rape Manual“ bekannt, was wohl auf das 3. Newton’sche Gesetz („reactio = actio“) zurückgeht, oder weil die Körper machtlos den Kräften ausgeliefert sind.
Zusammen mit der Superposition („Parallelogramm der Kräfte“) lassen sich in der Newton-Mechanik viele Aufgabenstellungen lösen.

Gehen wir nun von einem homogenen Schwerefeld aus, und wählen das Koordinatensystem so, dass die z-Achse nach „oben“ zeigt. Dann wirkt auf eine Masse m die Kraft m*g gegen die z-Richtung. In x- und y-Richtung wirkt keine Kraft.
Wir erhalten also m*a = -m*g. Da wir davon ausgehen, dass träge Masse gleich schwere Masse ist (Äquivalenzprinzip), vereinfacht sich die Gleichung zu a = -g.
Und damit haben wir bereits eine Differentialgleichung, die wir lösen können. Die Beschleunigung a ist nämlich die zweite Ableitung der z-Koordinate nach der Zeit. a = d^2 z/dt^2. Durch Integration erhalten wir die Geschwindigkeit vz = v0z – g*t. (Für x und y entsprechend ist die Geschwindigkeit v0x bzw. v0y konstant gemäß des 1. Newton’schen Gesetzes.)
Eine zweite Integration liefert für z = z0 + v0z*t -g*t^2/2, x = x0 +v0x*t, y analog.
In einer Ebene dargestellt, ist die Bahnkurve eine Parabel, da die Zeit quadratisch eingeht. Zu bedenken ist allerdings, dass keine Luftreibung berücksichtigt wurde. Weitere Fehlerquellen ergeben sich u.a. dadurch, dass das Schwerefeld (der Erde) nicht homogen ist, sondern nur in der Nähe der Erdoberfläche als homogen und konstant angenommen werden kann, und durch Scheinkräfte wie die Corioliskraft.
Als Physiker hat man ständig im Hinterkopf, dass solche Ergebnisse nur innerhalb bestimmter Annahmen und Näherungen gültig sind. Jetzt versteht ihr vielleicht, was der Hintergrund des TBBT-Witzes mit den kugelförmigen Hühnern im Vakuum ist. Physik ist die Kunst, geschickt zu nähern, so dass nur die wesentlichen Einflussgrößen berücksichtigt werden, während unbedeutende Effekte vernachlässigt werden.
Aber dennoch ist es faszinierend, dass man durch einfache Rechnung, in die verhältnismäßig wenige Voraussetzungen eingehen, eine perfekte Parabel herleiten kann, und dass diese Form der Bahnkurve auch noch so wunderbar mit dem Verhalten der Natur übereinstimmt.

Einer (konservativen) Kraft F lässt sich ein skalares Potential V zuordnen, so dass F = -grad(V). grad ist dabei der Gradient, auch als Nabla bezeichnet. Es handelt sich dabei um einen Differentialoperator der Vektoranalysis, bei dem die jeweilige Komponente die partielle Ableitung nach der entsprechenden Ortskoordinate ist.
Man beachte, dass das Potential eine rein mathematische Hilfsgröße ist, die keine physikalische Anschauung hat und nicht direkt gemessen werden kann.
Im Falle des o.g. Beispieles mit dem homogenen Schwerefeld wäre V=m*g*z die potentielle Energie des Körpers mit der Masse m.
[Das Newton’sche Gravitationsgesetz besagt, dass die gravitative Anziehungskraft zweier Massen(punkte) mit dem Quadrat ihres Abstandes abnimmt.
Allgemeiner lässt sich das innerhalb der klassischen Physik formulieren: Die Divergenz der Gravitationsbeschleunigung ist gleich dem negativen Produkt aus dem Faktor 4*pi mal Gravitationskonstante und der Massendichte (in Abhängigkeit vom Ort).]

Nur zur Veranschaulichung, und weil ich irgendwann mal drauf zurückkommen will, betrachten wir jetzt einen Körper der Masse m, der an einer Feder mit Härte k aufgehängt ist.
Auf diesen Körper wirkt nach dem Hooke’schen Gesetz die Rückstellkraft der Feder -k*z.
Wir finden also die Differentialgleichung für z: d^2 z/dt^2 = -k*z/m. Als Lösung ergibt sich eine sinusförmige Schwingung mit der Kreisfrequenz omega = sqrt(k/m).
Das entsprechende Potential wäre V = k*z^2/2, auch bekannt als Harmonisches Potential, das eine quadratische Abhängigkeit vom Ort (hier Auslenkung der Feder bezüglich ihres Ruhepunktes) aufweist. Harmonische Potentiale sind weitverbreitet in der Physik, da man mit ihnen so gut wie jedes Minimum eines Potentialverlaufs mehr oder weniger gut annähern kann. Entsprechend kommt ein harmonischer Oszillator als Lösung häufig vor.

So, ich glaube das reicht erst mal als allererster Einstieg in die Klassische Mechanik. Ich habe vieles ausgelassen und war an einigen Stellen so ungenau, dass ich es eigentlich nicht verantworten kann. Aber schließlich möchte ich euch nicht mit unbedeutenden Nebensächlichkeiten verwirren, sondern dass ihr neue Erkenntnisse aus meinen Erläuterungen ziehen könnt.

Wer bis hierhin alles gut nachvollziehen konnte, dem würde ich zur Vertiefung einige Übungsaufgaben empfehlen, beispielsweise die Herleitung der Keppler’schen Gesetze, oder die Bahnkurve eines Elektronenstrahls in einem homogenen Magnetfeld. Oder versucht zu berechnen, welche maximale Wurfweite man auf einer schiefen Ebene bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit erzielen kann. Oder überlegt euch die Dynamik, wenn man einen Körper in ein gedachtes Loch durch den Erdmittelpunkt fallen lassen könnte.
Bei Interesse gebe ich gerne Hinweise in den Kommentaren, möchte das aber nicht in aller Ausführlichkeit durchkauen.

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