breakplaining: Fourier //1876

Was mich gleich im ersten Semester besonders fasziniert hat, waren Fourieranalyse- und synthese.
Ein Blogeintrag ist sicher nicht geeignet, das Thema vollumfänglich zu betrachten, aber einen kleinen – stark vereinfachten – Einblick kann ich schon geben.

Es geht zunächst darum, periodische Vorgänge als Überlagerung von höherfrequenten Anteilen darzustellen.
Ein periodischer Vorgang hat eine definierte Periodendauer. Der Kehrwert davon ist die Grundfrequenz. Die ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz bilden die Oberfrequenzen.
Eine Fourierreihe ist die Aufsummierung der einzelnen Oberschwingungen zu einem einzelnen Signal. Um die einzelnen Koeffizienten (also Gewichtsfaktoren) zu erhalten, führt man eine Fourieranalyse durch. Dabei wird die Ursprungsfunktion mit den einzelnen Schwingungen der Oberfrequenzen multipliziert, und über die gesamte Periodendauer integriert (na, toll! Jetzt habe ich es geschafft, das ganze sowohl unverständlich als auch inkorrekt zu formulieren).
Wie auch immer – auf diese Weise lassen sich beispielsweise Rechteck-, Dreieck- oder Sägezahnsignale als Summe einzelner harmonischer Schwingungen darstellen. Diese Fouriersynthese nutzt man etwa bei einem elektrischen Funktionsgenerator.

Als einfachstes Beispiel stellen wir uns eine Funktion vor, die +1 in [0;pi[ ist, -1 in [pi;2 pi[, und periodisch fortgesetzt wird – der Graph sieht dann etwa aus wie Burgzinnen. Diese Funktion multiplizieren wir mit sin(n x), und integrieren über eine volle Periode (also von 0 bis 2 pi). In diesem einfachen Fall können wir uns auf den Sinus beschränken, und brauchen nicht auf irgendwelche zusätzlichen Phasen zu achten, da es sich um eine ungerade Funktion handelt. Nach einfacher Rechnung (die latexfrei aber kaum lesbar wäre) ergeben sich als Koeffizienten 4/n, wenn n ungerade ist, sonst 0.
Die Rechteckfunktion lässt sich also (bis auf einen konstanten Faktor 4, unterschlagen habe ich dabei auch noch die Division durch die halbe Periodendauer, also pi) darstellen als Summe sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + …

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist noch das Gibbs’sche Phänomen, das bei den Sprungkanten zuschlägt, indem dort überhöhte Werte angenommen warden.

Noch spannender wird die Angelegenheit, wenn man von periodischen Vorgängen auf aperiodische übergeht. Im Prinzip lässt man die Periodendauer der Grundfunktion gegen unendlich gehen. Aus der Fourieranalyse wird eine Fouriertransformation. Aus diskreten Frequenzen wird ein kontinuierliches Spektrum.
„Wozu braucht man sowas?“, wird sich nun sicher der eine oder andere fragen. Fooriertransformierte sind manchmal ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung von Differentialgleichungen.
Bei manchen Anwendungen ist es nötig, numerisch Fouriertransformationen auszuführen. FFT (Fast Fourier Transformation) ist ein Algorithmus, mit dem dies mit hoher Performance gemacht wird. Ich habe leider Einzelheiten vergessen, weiß nur noch, dass die Anzahl der Stützpunkte eine Zweierpotenz sein muss.

Ja, das hört sich jetzt alles sehr theoretisch an (ist es auch). Für mich ist das Beispiel eines Gewitters eine interessante Veranschaulichung. Bei einem Gewitter findet eine schlagartige (i.e. extrem kurze) Entladung statt. Es ist bekannt, dass man dann erst den Blitz sieht, und den Donner erst später (in Abhängigkeit von der Entfernung) hört.
Fouriertransformiert man einen Deltapeak, so erkennt man, dass praktisch sämtliche Frequenzen vorhanden sind. Das sichtbare Licht sieht man als Blitz. Radio- und Fernsehsignale werden gestört. Niedrige Frequenzen stellen sich als Schall dar. Schallwellen breiten sich wesentlich langsamer als Licht aus, deshalb die Verzögerung des Donners gegenüber dem Blitz. Durch die Dispersion (Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz) ergibt sich das typische Donnergrollen.


Um meine Breakplaining-Texte in Zukunft noch besser auf die Bedürfnisse meiner Leser abstimmen zu können, würde ich mich freuen, wenn sich möglichst viele an meiner kleinen Umfrage (nicht vom WP-Reader aus lesbar, nur direkt auf dem Blogeintrag) beteiligen würden.

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Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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18 Antworten zu breakplaining: Fourier //1876

  1. Leser schreibt:

    Ich sehe keine Umfrage – und das, obwohl ich das Script von polldaddy.com zugelassen habe (weil poll so klingt als wäre von da die Umfrage eingebunden). Welche externen Ressourcen müssen denn noch zugelassen werden, um die Umfrage anzuzeigen? Es ist jedenfalls immer nervig, tausende cross-site-requests zulassen zu müssen, damit eine Seite funktioniert, und sich dadurch zugleich der Möglichkeit von Tracking, Schadsoftware usw. zu öffnen (das ist das eigentliche Problem daran).

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  2. Leser schreibt:

    Und zum Inhalt: Ich habe so gut wie nichts verstanden, aber zum Ende hin beim Gewitter beschreibst Du Schall als niedrigere Frequenzen (i.Ggs. zu z.B. Licht u. Radiowellen). Das ist zwar faktisch korrekt, aber wie kann man denn mal so eben Druckwellen mit elektromagnetischen Wellen in ein und denselben Topf werfen? Das sind doch zwei völlig unterschiedliche physikalische Phänomene, die nichts miteinander zu tun haben?

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    • Nach einer starken elektrostatischen Entladung beobachtet man bei hohen Frequenzen elektromagnetische Wellen, und bei niedrigen Schallwellen.
      Das mag dir nicht konsistent erscheinen, ist aber das Verhalten der Natur, und schließt die (kurzzeitige) Existenz höherfrequenter Druckschwankungen und niederfrequenter EM-Wellen gar nicht aus.
      Die Druckwelle entsteht gleichzeitig mit dem Blitz durch die plötzliche Aufheizung der Luft.

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  3. keloph schreibt:

    am meisten bewegt mich jetzt die frage, was denn bitte ein „periodischer vorhang“ ist? *sfg*

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  4. Anschauliches Beispiel für einen Laien (ich) und eine große kommerzielle Verbreitung der Frequenzmodulation ist m.W. der gute alte Yamaha DX7. Ist schon ein bisschen her, zugegeben. Der war einer der ersten Synths mit dieser Technik und war unschlagbar für obertonreiche, perkussive Sounds, etwa der Glockenklang eines E-Pianos oder diverse Vibraphon- und Marimba-Sounds. Reine Sinusschwingungen klingen meistens unerträglich und werden gerne für Alarmsysteme genutzt (Brandmelder). War damals eine kleine Revolution.

    Beste Grüße,
    Stadtmensch

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  5. Plietsche Jung schreibt:

    Auch eine schöne Erklärung, warum Hochtöner in Lautsprecherboxen beim Clipping des Verstärkers (per Scope einfach sichtbar) so zeitnah das Zeitliche segnen und durchbrennen.

    Seit Mitte der Neuziger gibt es außerdem Class-D Verstärker, die von ihrer Konzeption im verarbeiten von Rechtecksignalen arbeiten und im Ausgang dann auf erhebliche Filter angewiesen sind, um daraus wieder einigermaßen Audio zu bereiten. Was bleibt, ist ein sehr hoher Klirrfaktor (>10%), aber auch eine billige Produktion durch fehlende große Trafos und Kühlkörper der Leistungsendstufen.

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  6. Überfragt schreibt:

    Holy shit. Was is hier schon wieder los?

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