breakplaining: Variationsrechnung //2672

Schauen wir uns mal folgende Aufgabenstellung an:
Ein Seil (mit gleichmäßiger Massenbelegung) der Länge L wird zwischen zwei Pfosten mit dem Abstand d < L aufgehängt. Auf beiden Seiten ist die Höhe der Aufhängung gleich, und hoch genug, dass das Seil nicht mit dem Boden in Kontakt kommt. Das Seil ist flexibel, aber nicht dehnbar. Die geometrischen Abmessungen der Aufhängungen sind gegen die Länge L und den Abstand d vernachlässigbar. Wie weit hängt das Seil durch?

Zur Ermittlung dieses Durchhangs müssen wir zunächst wissen, welche Funktion f(x) die Form des Seils beschreibt.
Wir legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in die Mitte zwischen beiden Aufhängungen. Bei bekannter Funktion f(x) wäre dann f(0) der gesuchte Durchhang (vertikaler Abstand zwischen Aufhängung und Minimum).
Die Problemstellung ist symmetrisch, liefert also eine gerade Funktion f(x) = f(-x) mit positiver Parität.
Dann wissen wir noch, dass f(d/2) = f(-d/2) = 0.
Das Seil wird durch die Schwerkraft nach unten gezogen. Wir haben hier aber keinen einzelnen Massepunkt, sondern eine homogene Massenverteilung rho = M/L. Die Seilkurve wird sich nach dem Hamilton’schen Prinzip so ergeben, dass die potentielle Energie minimal wird.
Die Länge ist konstant L. Das erfordert, dass die Länge der Funktion ebenfalls L ist.
Ein infinitesimales Längenelement einer Kurve berechnet sich nach Pythagoras zu ds^2 = df^2 + dx^2. Als Physiker (nicht unbedingt als Mathematiker) darf man beide Seiten nach dx ableiten und radizieren. Somit erhält man ds/dx = s‘ = sqrt(f’^2 + 1). Würde man über diesen Ausdruck von -d/2 bis +d/2 integrieren, müsste L herauskommen.

Um mathematische Probleme dieser Art zu lösen, gibt es die Variationsrechnung. Keine Angst, für Einzelheiten ist das Blog nun wirklich kein geeignetes Medium. Das Konzept von Breakplaining-Einträgen ist nicht, dass sie ausführliche wissenschaftliche Abhandlungen sein sollen, sondern interessierten Laien einen ersten Eindruck und eine Idee vermitteln, um was es beim jeweiligen Thema geht. Wenn ich mich dabei bemühe, mich allgemeinverständlich auszudrücken, ist es unvermeidlich, dass einige Feinheiten dabei untergehen.

Variationsrechnung beruht darauf, dass die gesuchte Funktion „variiert“ wird. Dafür benutzt man Funktionalableitungen, abgekürzt durch ein griechisches kleines Delta, das vergleichbare Bedeutung wie ein Differential hat.
Zur Lösung gibt es einen Formalismus, ähnlich dem Lagrangeformalismus der Theoretischen Mechanik. Dadurch erhält man eine Differentialgleichung.

Als Lösung findet man nach einiger Herumrechnerei einen Cosinus Hyperbolicus f(x) = h + a*cosh(x/a), der die gegebenen Bedingungen erfüllt. Dabei müssen die Parameter h und a so angepasst werden, dass f(d/2) = 0, und dass die Länge der Kurve (die sich mit einem Hyperbelsinus berechnet zu L = 2*a*sinh(d/2a)) der vorgegebenen Länge L entspricht. Ich fürchte, dass sich das nicht mehr allgemein analytisch in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von L und d schreiben lässt, sondern numerische Verfahren benötigt.
Nach numerischer Berechnung des Parameters a, setzt man dessen nun bekannten Wert in die Formel mit dem Hyperbelkosinus am Punkt x = d/2 ein, und erhält h = – a*cosh(d/2/a)
Die gesuchte Durchhängung ergibt sich schließlich zu f(0) = h + a = a*(1 – cosh(d/2/a)) .

Bemerkenswert ist noch, dass das Problem sich auf reine Geometrie reduziert. Weder die Masse M des Seils, noch die Schwerebeschleunigung g gehen in das Ergebnis ein. Das Schwerefeld gibt zwar die Vorzugsrichtung vor, seine Stärke ist aber irrelevant. Die Kurve muss lediglich so gefittet werden, dass sie bei gleichbleibender Länge durch zwei gegebene Punkte geht.

Eine weitere Anwendung von Variationsrechnung ist die Berechnung von Minimalflächen, also Flächen, die bei gegebenen Bedingungen eine minimale Oberfläche erhalten. Beispielsweise ist eine Kugel die kleinstmögliche Oberfläche, die den gegebenen Volumeninhalt umschließt. Weitere Veranschaulichungen wären die Flächen, die man erhält, wenn man ein Drahtmodel in Seifenlauge getaucht hat.