breakplaining: (Elementare) Zahlen //2907

In diesem Beitrag möchte ich diesmal das Konzept der Zahlen vorstellen. Was sind das eigentlich für Objekte? Wie kann man damit rechnen? Lässt sich 1 + 1 = 2 überhaupt beweisen?
Es geht mir dabei darum, die dahinterliegenden Ideen verständlich zu vermitteln, ohne detailliert in die mathematischen Grundlagen einzudringen.
Unsere arabischen Ziffern sind dabei lediglich Symbole oder Tokens, das Dezimalsystem eine bestimmte Darstellungsweise (nämlich als Summe über a_i*10^i, wobei die a_i Ziffern in {0, 1, .. 9} sind). Man könnte Zahlen auch völlig anders repräsentieren, beispielsweise mit römischen Ziffern schreiben. Die Eigenschaften sind unabhängig von der Darstellung.

Die Peano-Axiome gehen davon aus, dass jede (natürliche) Zahl n einen eindeutigen Nachfolger hat. [Der „Nachfolger“ ist das, was man in manchen Programmiersprachen durch den Doppelplusoperator berechnet n++.]
Beginnt man mit der 0 als initialer Zahl und inkrementiert sie, erhält man die 1. Wenn man auch von dieser wieder den Nachfolger sucht, findet man die 2, und so weiter und so fort. Induktionsartig werden sämtliche natürliche Zahlen durchiteriert und enumeriert. Dieses „Zählen“ oder „Abzählen“ ist die einfachste Art der Arithmetik. [Laut meiner Mutter habe ich schon im Kinderwagen meine Finger gezählt. Die Nachbarsmädchen hatten mir mit vier Jahren nicht geglaubt, dass ich bis Tausend zählen konnte.]
Zahlen kann man miteinander vergleichen oder verknüpfen, bzw. (binäre) Operatoren auf sie anwenden.

Vom Zählen kommt man zur Addition, indem man die Null als neutrales Element bestimmt (n + 0 = n) und von da aus rekursiv n + m++ = (n + m)++ definiert. Diese Addition ist kommutativ n + m = m + n und assoziativ (n + m) + k = n + (m + k).
Die Umkehrung der Addition (also von der Summe und einem der Summanden auf den anderen zu schließen) führt zur Subtraktion, welche negative Zahlen notwendig macht.

Die wiederholte Anwendung der Addition mit gleichen Summanden lässt sich zur Multiplikation verallgemeinern. Hier ist die 1 das neutrale Element. Es gelten weitere Regeln, auf die ich jetzt nicht weiter eingehen will. Das ist üblicher Schulstoff, an den ihr euch sicher noch alle gut erinnert.
Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. Bemerkenswert ist dabei, dass die Division durch 0 nicht möglich ist. Da die ganzen Zahlen für Divisionsergebnisse (also Quotienten bzw. Brüche) nicht ausreichen, erweitert man den Zahlenraum auf rationale Zahlen.

Auch Multiplikationen lassen sich mehrfach ausführen. So kommen wir zur Potenzierung. Diese ist jedoch nicht kommutativ a^b != b^a. Deshalb gibt es zwei verschiedene Umkehrungen: Wurzeln und Logarithmen.
Es stellt sich heraus, dass die rationalen Zahlen nicht ausreichen, um allen Werten von Wurzeln zu entsprechen. Irrationale Zahlen wie sqrt(2), sqrt(3) oder auch der Goldene Schnitt kommen hinzu. Andererseits findet man es auch hilfreich, Wurzeln negativer Zahlen zu definieren sqrt(-1) = i, was zu den imaginären Zahlen führt, und schließlich als Linearkombination mit den reellen zu den komplexen Zahlen. Diese haben keine unmittelbar anschauliche Entsprechung mehr, sind aber für viele Berechnungen in Natur und Technik sehr nützlich.
Algebraische Zahlen sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten.
Aber auch mit den algebraischen Zahlen ist unser reeller Zahlenraum noch nicht vollständig. Transzendente Zahlen (wie pi oder e) füllen die unendlich vielen Lücken zwischen den algebraischen Zahlen beliebig dicht auf. Zwischen zwei berechenbaren Zahlen sind überabzählbar unendlich viele unberechenbare.

Zahlen bilden die Schnittstelle in unsere physische Welt und Natur. Physikalische Größen sind das Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit. Diese Größen lassen sich in der Experimentellen Physik (grundsätzlich) messen. In der Theoretischen Physik sind die Messergebnisse Grundlage zur Erstellung von Theorien und Modellen, die das Verhalten der Natur beschreiben und berechenbare Vorhersagen zulassen.