breakplaining: Komplex //2586

Ich habe gelegentlich imaginäre oder komplexe Zahlen hier erwähnt, in der Annahme (ohne ausdrücklich darüber nachgedacht zu haben), dies seien allgemein verständliche Begriffe. Jetzt ergab es sich IRL (eine völlig belanglose Geschichte, die nicht weiter bemerkenswert ist), dass ich feststellen musste, dass dem nicht so ist. Nun ja – so weit mir bekannt ist, werden komplexe Zahlen normalerweise nicht im Schulunterricht gelehrt (m.W. höchstens in mathematisch-naturwissenschaftlichen Gymnasien). Noch nicht einmal im Mathematik-Leistungskurs gehörten sie zum Lehrplan (auch wenn sie gelegentlich außer der Reihe erwähnt wurden – z.B. dass laut kultusministeriellem Beschluss die dritte Wurzel aus minus Eins nicht existiert).
Deshalb spendiere ich heute einen Blogeintrag zu diesem Thema. Wer sich bereits mit komplexen Zahlen auskennt, kann den Text getrost überspringen.

Es gibt keine reelle Zahl x, die die Gleichung x*x = -1 löst.
Um trotzdem damit rechnen zu können, wurde die Zahl i = sqrt(-1) eingeführt. Man nennt sie imaginäre Einheit. Aufgrund interkultureller Unterschiede nutzen die Elektrotechniker stattdessen j (ich verzichte hier darauf, mich weiter darüber auszulassen).
Eine komplexe Zahl z lässt sich schreiben als z = x + i*y (mit x, y reell). Dabei ist x ihr Realteil, und y ihr Imaginärteil. Die Zahl z hat einen Absolutwert oder Betrag abs(z) = |z| = sqrt(x^2 + y^2), und ein Argument arg(z) = phi mit tan(phi) = y/x, das man sich als Winkel in der komplexen Ebene (Realteil als Abszisse, Imaginärteil als Ordinate) zwischen der x-Achse und dem Punkt P(x, y) vorstellen kann. Umgekehrt ist Re(z) = x = |z| * cos(phi) und Im(z) = y = |z| * sin(phi). z lässt sich alternativ in Polardarstellung schreiben als z = |z| * cis(phi) = |z| * e^(i*phi).
z hat ein konjugiert komplexes Pendant x – i*y. Konjugiert komplexe Zahlen werden üblicherweise durch einen Überstrich oder ein hochgestelltes Sternchen geschrieben. Das geht über ASCII hinaus, so dass ich _z schreiben werde, denn ein nachgestelltes Sternchen könnte leicht mit einer Multiplikation verwechselt werden.
Es gilt z*_z = (x + i*y)*(x – i*y) = x^2 + y^2 = |z|^2.

Komplexe Zahlen lassen sich addieren und subtrahieren, indem man Realteile und Imaginärteile separat addiert bzw. subtrahiert. z1 + z2 = x1 + x2 + i*(y1 + y2).
Komplexe Zahlen lassen sich multiplizieren: z1*z2 = (x1 + i*y1)*(x2 + i*y2) = x1*x2 – y1*y2 + i*(x1*y2 + y1*x2). Ihre Beträge multiplizieren sich dabei, während sich ihre Argumente addieren.
Sie lassen sich auch dividieren, aber das ergibt einen etwas längeren Ausdruck, den ich euch gerne selbst zur Übung überlasse.

Nur Grundrechnungsarten wären ja langweilig. Komplexe Zahlen lassen sich auch potenzieren, radizieren, logarithmieren, sowie in andere Funktionen, insbesondere trigonometrische einsetzen. Da gibt es viele schöne Formeln.

Besonders spannend ist das Ziehen der n-ten Wurzel.
Der Betrag der Wurzel ist die Wurzel des Betrags. Für die Argumente der n Lösungen gilt phi_k = (phi + 2*pi*k)/n, mit k = 0..n-1.

Ich möchte diesen Eintrag nicht zu weit treiben, sondern schließe die Erklärungen der komplexen Zahlen mit einer erweiterten Euler’schen Formel ab: e^z = e^x *(cos(y) + i*sin(y)) = e^x * cis(y)
Für komplexe Zahlen gibt es vielfältige Einsatzmöglichkeiten in Physik und Technik.

[Die komplexen Zahlen lassen sich zu Quaternionen erweitern.
Für die Quadratwurzel aus -1 gibt es die drei Werte i, j und k, die zusammen mit der reellen Zahl 1 einen vierdimensionalen Raum aufspannen.
Die Quaternionen bilden einen schiefen Körper, d.h. bei der Multiplikation kommt es auf die Reihenfolge der Faktoren an.
Es gilt i^2 = j^2 = k^2 = -1 = i*j*k, i*j = k, j*k = i, k*i = j, i*k = -j, j*i = -k, k*j = -i.
Oder in Kommutator-Schreibweise: [i, j] = i*j – j*i = 2*k, sowie analog zyklisch.
Ich selbst hatte fachlich nie etwas mit Quaternionen zu tun. Als Kind fand ich ein Kapitel darüber in einem Buch meines Opas, und war gleich fasziniert. Meines Wissens wurden die Quaternionen früher z.B. in der Speziellen Relativitätstheorie eingesetzt, aber da nimmt man heute lieber Vierervektoren, die nicht mit dem Imaginärteil der Quantenmechanik in Konflikt geraten. Bei der Berechnung dreidimensionaler Geometrien in Computerspielen sollen Quaternionen noch gebräuchlich sein, weil man mit ihnen recht einfach Drehungen beschreiben kann.]

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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9 Antworten zu breakplaining: Komplex //2586

  1. Plietsche Jung schreibt:

    Ach ja … das waren noch Zeiten ….

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  2. idgie13 schreibt:

    Echt? Komplexe Zahlen gehören nicht zur Allgemeinbildung?

    In meiner Erinnerung haben wir die relativ ausgiebig in der 9. Klasse oder so durchgenommen. Zumindest hab ich mich bei meiner Facharbeit (10. Klasse) schon intensiv damit beschäftigt. Ich hatte den mathematisch-naturwissenschaftlichen Zweig gewählt. Ob das in den anderen Zweigen auch so war, weiss ich nicht.

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    • Anscheinend nicht. 😦

      Es entspricht auch meinem Kenntnisstand, dass in mathematisch-naturwissenschaftlichen Gymnasien komplexe Zahlen irgendwann in der Mittelstufe durchgenommen werden.
      Ich war (mangels erreichbarer Alternative) auf einem neusprachlichen. Dort war es kein Thema. Im Mathe-LK wussten wir nur ganz inoffiziell davon.

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      • pingpong schreibt:

        Ich war (mangels erreichbarer Alternative) auf einem neusprachlichen. Dort war es kein Thema. Im Mathe-LK wussten wir nur ganz inoffiziell davon.

        Kann ich so auch für Österreich bestätigen. Ist allerdings ein Weilchen her, ob es jetzt immer noch so ist weiß ich nicht. Es würde mich aber wundern, wenn im Lauf der Zeit MEHR Stoff in Mathematik hinzugekommen wäre. Verträgt sich nicht mit meinen Erfahrungswerten was das Schulsystem betrifft.

        Bei der Berechnung dreidimensionaler Geometrien in Computerspielen sollen Quaternionen noch gebräuchlich sein, weil man mit ihnen recht einfach Drehungen beschreiben kann.

        Nicht nur in Computerspielen, überall wo man auf digitalen Geräten mit Rotationen im dreidimensionalen Raum arbeitet nimmt man generell gerne Quaternionen (Robotik, computer vision, Drohnen, etc.).

        Eine 3×3 Rotationsmatrix hat 9 Einträge, aber wie man weiß hat eine Rotation in 3D viel weniger Freiheitsgrade als 9, nämlich 3. Die Darstellung als Rotationsmatrix ist überparametrisiert. Nicht jede 3×3 Matrix ist eine Rotationsmatrix, sondern nur Matrizen aus der special orthogonal group SO(3), d.h. orthogonale Matrizen mit Determinante 1 (eine Matrix A ist orthogonal wenn AA^T=I). Diese Bedingungen erzeugen Abhängigkeiten zwischen den Einträgen der Matrix, sodass die Anzahl der Freiheitsgrade einer Rotationsmatrix eben weniger als 9 ist.

        Die Darstellung einer Rotation über Eulersche Winkel benutzt zwar nur 3 Parameter (roll, pitch, yaw), leidet aber unter Singularitäten (Gimbal Lock), wo bei bestimmten Konfigurationen ein Freiheitsgrad verlorengeht.

        Bessere Darstellungen einer Rotation nutzen im Kern alle die exponential map, welche Elemente der entsprechenden Lie-Algebra auf die korrespondierende Gruppe abbildet, im Fall von Rotationen also von so(3) nach SO(3). Elemente der Lie-Algebra so(3) sind schief-symmetrische Matrizen und sind durch 3 Parameter definiert, es ist damit die minimale Parametrisierung von Rotationen im dreidimensionalen Raum. Die exponential map ist in diesem Fall die berühmte Rodrigues-Formel.

        Einheitsquaternionen können als Rotation aufgefasst werden, die ijk Elemente des Quaternions sind dann im wesentlichen die 3 Parametern der Lie-Algebra so(3). Diese Darstellung von Rotationen ist fast minimal (4 Parameter), ist numerisch stabil, hat keinen Gimbal Lock und hat noch einige weitere Vorteile. So ist z.b. die Verkettung von Rotationen durch Quaternion-Multiplikation gegeben, was verglichen mit Matrixmultiplikation weniger aufwändig zu berechnen ist. Auch eine stufenlose Interpolation zwischen zwei Rotationen, z.b. für einen kontinuierlichen Übergang von Rotation R1 nach Rotation R2, ist sehr einfach mit Quaternionen machbar.

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        • Tatsächlich wird der Lehrplan in Mathematik immer mehr ausgedünnt ist, was sehr bedauerlich ist.
          Da gibt es Abiturienten, die keine quadratische Gleichung lösen können oder sogar Probleme mit einem simplen Dreisatz haben.
          Meine Informationen über komplexe Zahlen als Lehrstoff sind schon etliche Jahre alt und beziehen sich auf Bayern (was fast immer bedeutet, dass es in anderen Bundesländern erst recht nicht besser ist).
          Tja, leider gehören komplexe Zahlen offenbar nicht zur Allgemeinbildung.

          Für die numerische Berechnung von Drehungen in Echtzeit sind Quaternionen wohl prädestiniert, zumal Matrizenmultiplikation immer Performance kostet.
          Wie gesagt – beruflich hatte ich noch nicht mit ihnen zu tun, und bei meiner Diplomarbeit habe ich damals die guten alten Eulerwinkel benutzt. Das war aber auch ein ganz anderer Use Case, bei dem die Kinematik in Mandelstam-Variablen abgebildet war.

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  3. Leser schreibt:

    Also auf dem humanistischen Gymnasium, welches ich besuchte, wurde so etwas nicht durchgenommen. Wobei das „humanistische“ kurz vor meiner Zeit dort abgeschafft wurde, d.h. es war ohne Fachbezug, aber egal: Irgendwo zu Begin der Beschreibung der komplexen Zahl z und deren Argument bin ich ausgestiegen und nicht mehr mitgekommen. Im Mathe-Grundkurs der Oberstufe wurde das einmal kurz erwähnt („das gibt es, nehmen wir hier aber nicht durch“), vor allem das mit i als imaginäre Zahl. Aber in der Tiefe, wie es dieser Blogeintrag erklärt, war davon nichts im Lehrplan enthalten. Zugleich fehlt mir heute essenzielles Grundlagenwissen, um aus dieser Beschreibung etwas mitzunehmen, dafür müsste diese also weitaus umfangreicher sein, oder ich müsste der Verfasserin mal eine Stunde lang Löcher in den Bauch fragen, um zu verstehen, was da geschrieben steht.

    Einerseits weiß ich um die Schönheit der Mathematik und deren innewohnender Harmonie und verspüre auf einer hoch abstrakten Ebene eine große Liebe dafür, andererseits weiß ich aber auch, dass ich dieses Wissen höchstwahrscheinlich niemals brauchen werde. Ich glaube, mehr als die Grundlagen der Arithmetik wären zu viel. Und ich merke auch, ich muss mit meinen geistigen Kapazitäten haushalten, nicht so viel (für mich und mein Leben) „unnützes“ Wissen in mir aufzunehmen. Von daher danke für die Erklärung, aber ich kann nichts anderes tun, als sie so stehen zu lassen 😉

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    • Danke für deine ehrliche Rückmeldung.
      Für Mathematiker, Physiker, Ingenieure sind komplexe Zahlen selbstverständlich. Wir vergessen nur zu leicht, dass das für die Normalbevölkerung nicht so ist.

      Manches bleibt besser hängen, wenn man es übt. Falls du doch noch versuchen möchtest, einen Lerneffekt zu erzielen, würde ich dir empfehlen, mal die vorgeschlagene Divisionsaufgabe zu rechnen.
      z1/z2 = (x1 + i*y1)/(x2 + i*y2) so umformen, dass Real- und Imaginärteil getrennt sind. (Kleiner Hinweis: den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner x2-i*y2 erweitern. Dann steht im Nenner das Betragsquadrat von z2, und der Zähler muss nur noch ausmultipliziert werden. Viel Spaß!)

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