breakplaining: Unendlich //1848

Recht verschwommen erinnere ich mich an eine Unterhaltung mit einer Klassenkameradin. Wir müssen so acht oder neun Jahre alt gewesen sein, wenn ich nicht irre.
Sie fragte mich: „Wie heißt die größte Zahl?“
„Es gibt keine ‚größte Zahl'“, stellte ich klar.
„Doch! Die Gotteszahl,“ meinte sie triumphierend. Musste sie wohl irgendwo mal aufgeschnappt haben.
„Was soll das sein?“
„Das ist die allergrößte Zahl, die es gibt.“
„Und wenn du noch eins dazuzählst, oder das doppelte nimmst?“

Nach dieser kleinen Annekdote geht es ernsthafter weiter.
Anlass für diesen Blogeintrag ist, dass mir in letzter Zeit öfter Formulierungen aufgefallen sind, in denen es um „unendliche Möglichkeiten“ oder „unendliche Chancen“ geht.
Gemeint sind jedoch nur „sehr viele“, oder meinetwegen „ungezählte“ oder „unvorherstellbar viele“ Möglichkeiten. Deren Anzahl mag enorm groß sein, aber sie ist nicht „unendlich“.
Unendlich ist ein mathematisches Konzept, symbolisiert als eine liegende Acht. Aber es existiert keine – wie auch immer geartete – Zahl die tatsächlich unendlich groß wäre. Jede Zahl ist nur endlich.

In der Natur gibt es keine Singularitäten (also Stellen, an denen eine physikalische Größe unendlich groß würde). Ein Dirac’scher Delta-Peak ist nur eine Näherung, die sich halt leichter berechnen lässt. Wenn in einer Messkurve (unter Berücksichtigung der Messgenauigkeit) scheinbare Polstellen, Sprünge oder Knicke vorkommen, dann ist das immer ein Hinweis darauf, dass an dieser Stelle etwas passiert. Wenn in einer Formel rein rechnerisch Unendlich vorkommt, dann bedeutet das, dass die dahinterstehende Theorie die Natur nur unzureichend abbildet.

In der Mathematik gibt es unterschiedliche Ausprägungen von Unendlichkeit. So sind natürliche Zahlen abzählbar unendlich, da man jede einzelne „zählen“ kann, indem man den Vorgänger inkrementiert. Auch rationale Zahlen (also Brüche) sind abzählbar unendlich. Das heißt, dass man mit einem geeigneten Algorithmus sämtliche rationalen Zahlen erwischen würde, wenn man seinem Schema (unendlich lange) folgen würde. Evident scheint es zu sein, dass es „mehr“ rationale als natürliche Zahlen gibt. Schließlich lässt sich aus jeder Kombination zweier beliebiger natürlicher Zahlen ein Bruch darstellen.
Irrationale Zahlen wie die Quadratwurzel von 2 oder transzendente wie pi erreicht man mit einem Abzählalgorithmus allerdings nie. Die reellen Zahlen sind überabzählbar unendlich.

Wie einfache Grenzwertbetrachtung in der Infinitesimalrechnung schon mit Schulmathematik zeigen, kann der Quotient zweier Grenzwerte, die jeweils Unendlich ergeben, jeden beliebigen Wert annehmen.
Potenzen von Unendlich sind stärker unendlich, als ein einfaches „lineares“ Unendlich. Und selbst das ist noch mächtiger als beispielsweise ein nur logarithmisches Unendlich.
Selbst Googolplex hoch Googolplex, und davon die Fakultät, ist noch irre weit von Unendlich entfernt, ein vernachlässigbarer Bruchteil der Unendlichkeit, so immens und unermesslich diese Zahl auch erscheinen mag. Ganz egal, wie riesengroß man eine Zahl auch wählen mag – ihr Kehrwert erreicht trotzdem niemals ganz die Null.

Wer hat schon mal (verbotenerweise!) versucht, durch 0 zu teilen?
Frühere Computer muss es bei „Division by zero“ ziemlich zerbröselt haben, denn sie stürzten so heftig ab, dass nur noch ein Neustart half. Inzwischen lassen sich solche Exceptions abfangen, und es existieren IEEE-Gleitkommazahlen für NaN und Inf.

Selbst wenn wir ausrechnen könnten, wie viele Kombinationen von möglichen Zuständen sämtlicher Teilchen im gesamten Universum es gibt, wäre diese Zahl immer noch unendlich weit von Unendlich entfernt.


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Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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24 Antworten zu breakplaining: Unendlich //1848

  1. Talianna schreibt:

    Ich hake hier mal ganz flapsig ein und postuliere:

    Der Schwarzschildradius ist der Try-Catch-Mechanismus für den Dichte-Unendlichkeits-Fehler, also ein Division by Zero?

    Ich bin gespannt, ob Du das hier fachkundig zerbröselst oder ob ich tatsächlich einen funktionierenden Witz aus meiner Espresso-Tasse gezogen habe, während ich eigentlich was ganz anderes dachte,

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    • Tja, da könnte man jetzt ins Philosophieren kommen.
      Es gibt ja auch alternative Hypothesen zur populären Schwarze-Loch-Hypothese, die eben ohne Singularitäten auskommen. Mit heutigen Beobachtungsmethoden lässt sich das nur nicht unterscheiden.

      Selbst wenn ein massereiches Objekt auf den Radius der Planck-Länge komprimiert wäre, wäre seine Dichte nicht unendlich groß.

      Der Ereignishorizont ist noch ein Stück weiter vom Mittelpunkt entfernt, und was da drinnen passiert, ist der Beobachtung von außen prinzipiell nicht zugänglich.

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      • Talianna schreibt:

        Das meinte ich. Der Schwarzschildradius enthebt uns der Notwendigkeit, zu ergründen, ob da eine Singularität ist oder nicht – wir werden es nie beweisen können.

        Außer, wir bekommen Tachyonen, die wir nachweisen können. Vielleicht. Aber das ist dann schon wieder eine ganz andere Physik als die, auf der wir heute arbeiten.

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        • Uns bleibt lediglich Spekulation, was da genau los ist. Wissen können wir es genauso wenig, wie das, was vor dem Urknall vielleicht war.

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          • Talianna schreibt:

            Bei vielen Phänomenen stellt sich die Frage: Entspricht es der Realität, was wir „sehen“? Letztlich ist „Sehen“ und „Messen“ lange nicht so objektiv, wie wir das gerne hätten, weil die Mustererkennung und die Erwartungen in unserem Gehirn das Ganze Filtern – und auch Messgeräte um unsere Erwartungen herum konstruiert werden. Ich mag nicht unser gesamtes empirisches Weltbild in Frage stellen, denke aber durchaus, dass kritische Auseinandersetzung mit systematischen Erwartungs- und Messmethoden-Abweichungen nicht außer Acht gelassen werden darf. Viele Wahrnehmungen und Messungen sind so selbstverständlich aus einem Konglomerat von reinem Wert und Interpretation aus Erwartung- und Erfahrungsschatz erzeugt, dass uns gar nicht mehr bewusst ist, wie viel subjektive Interpretation (zumeist durch Konsens mit einem Großteil der sozialen Umgebung abgesichert) bereits in den Eingangsdaten unserer Modelle stecken.

            Und nein, ich lehne die Vorgehensweise aus Experiment, Theoretischer Vorhersage und anschließender Prüfung für neue Experimente nicht ab. Gar nicht! Das ist unsere Bastion gegen die Idiotie. Allerdings schleichen sich allzuleicht eigene Erwartungen ein, die Messergebnisse durch (oft unbewusste) Interpretation des Experimentators verfälschen, während wir die Abwehrschlacht gegen Flat-Earth-Freaks und Kreationisten führen.

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            • Da sprichst du mir aus der Seele.
              Es ist halt nicht immer einfach, einerseits aufgeschlossen für Neues zu bleiben, andererseits aber genügend Sachverstand zu bewahren, um nicht gleich auf jedes unerwartete (eventuell gefakete) Ergebnis hereinzufallen.
              Ich erinnere z.B. an die „überlichtschnellen“ Neutrinos vor einigen Jahren.
              Das vermeintliche Experiment stellte die Relativitätstheorie in Frage – Falsifikation der bestehenden Theorie? Messfehler? Ein ganz neuer Effekt?
              Da blieb nichts anderes übrig, als der Sache nachzugehen. Letztendlich war die Messung fehlerhaft.
              Hätte man reproduzierbare Bestätigungen gefunden, hätte sich das ganze Bild der Physik grundlegend verändert.

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            • Talianna schreibt:

              An die dachte ich auch. Oder an die Kontroverse beim Heidelberg-Moskau-Experiment 😉

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            • Ja, da gibt es etliche Beispiele.
              Etwa die kalte Fusion hatte es auch einmal zu ziemlicher Popularität gebracht.

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  2. Ochmonek schreibt:

    Auch endliches hat seinen Reiz.

    Beweise: Jede endliche Oberkörpererweiterung mit mehr als zwei Elementen ist nicht normal.

    Ich habe einen Mathematiker erlebt, der tatsächlich versucht hat, diesen mathematischen Beweis zu führen. Auch durch eindeutige Gesten ließ er sich nicht sofort auf die richtige Spur bringen.

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  3. keloph schreibt:

    deswegen liebe ich die mathematik…….und da ist dann für mich auch der übergang ins esoterisch/philosophische……

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    • Ja, so ähnlich geht es mir auch.

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      • Leser schreibt:

        Und doch finde ich es angenehm entspannend, dass wir es in der Physik überall mit Endlichkeiten zu tun haben. 0K, tiefere Temperatur geht nicht, der absolute Nullpunkt. Negative Kelvin-Werte sind unmöglich. Lichtgeschwindigkeit ist die höchste physikalisch erreichbare Geschwindigkeit. Keine Längeneinheit kann einen Bruchteil einer Planck-Länge betragen, und die Planck-Sekunde ist die kürzestmögliche Zeiteinheit. Eine EM-Welle mit der Frequenz 1/Planck-Sekunde wäre auch keine unendlich hohe Frequenz, sondern lediglich die höchste mögliche Frequenz. >1 kann es da dann wohl auch nicht gehen….oder?

        Irgendwie ist es jedenfalls angenehm zu wissen, dass es in der Welt auch noch so manche Dinge gibt, die sicher sind 🙂

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        • Temperatur ist ein statistisches Maß. Mehr als völlig geordnet geht halt nicht.
          Frequenz ist hier praktisch gleichbedeutend mit Energie.

          Ja, irgendwie beruhigt es, dass nichts in der Natur unendlich ist. Andererseits gibt es dafür aber auch keinen wirklichen Beweis.

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  4. ednong schreibt:

    Hach ja,
    Saxophon hat schon was. Und ist bestimmt schon mindestens 10 Jahre alt, oder?

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  5. Pendolino70 schreibt:

    Ich finde schon die Vorstellung, dass es unendlich viele Zahlen zwischen 1 und 2 gibt unvorstellbar. Beim Universum weiss man zumindest, dass es nicht unendlich gross ist aber unbegrenzt,

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