Sonne und Erde kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Diese Bewegung findet in einer Ebene statt – der Ekliptik.
Eine andere gedachte, (nicht ganz) raumfeste Ebene ist der Himmelsäquator, den man sich vorstellen kann als unendlich fortgesetzte Schnittebene durch die Erde in Höhe ihres Äquators.
Diese beiden Ebenen spannen einen Winkel von 23.5° auf.
Die Erde zieht also ihre Bahn auf der Ekliptik. Zweimal im Jahr befindet sie sich an einem Punkt, wo sich Ekliptik und Himmelsäquator schneiden. Dann ist Äquinoktium, also Tag-und-Nacht-Gleiche.
Gestern, um 5:30 UTC+1 Uhr befand sich die Erde im Frühlingspunkt, das heißt der Frühling begann.
Dies war der Stichtag für den Kastanienwurf.
Da Carsten mit einem ganz furchtbar grausam-schlimmen Männerschnupfen im Bett lag, ging ich allein nur ein paar hundert Meter zum Waldrand, und suchte dort meine Kastanien aus meiner Jackentasche.
Zum Abwurf der Kastanien legte ich folgendes Koordinatensystem fest:
Ursprung am Boden, x horizontal in Wurfrichtung, y senkrecht dazu (weshalb ich Schreibarbeit spare, da die y-Komponente immer 0 ist, und keinerlei Erkenntnisgewinn bringt) nach links, z nach oben.
Es gilt (unter Vernachlässigung der Luftreibung und sonstiger Effekte) die Bewegungsgleichung d^2(x, y, z)/dt^2 = (0, 0, -g).
Ich bemühte mich, um einen 45° Wurfwinkel mit der Geschwindigkeit v0, und aus der Höhe h über dem Boden, d.h. r0 = (0, 0, h), v0 = (vx0, 0, vz0).
Dann erhält man als Lösung der Bewegungsgleichung unter Verwendung der Anfangsbedingngen:
z(t) = -1/2 * g * t^2 + vz0 * t + h
x(t) = vx0 * t
Also ist t = x / vx0. In die erste Gleichung eingesetzt, ergibt sich:
z = -1/2 * g * (x/vx0)^2 + vz0 * x / vx0 + h.
Für einen Abwurf unter 45° ist vx0 = vz0, und v0^2 = 2 * vx0^2.
Somit wird z = – g * x^2 / v0^2 + x + h, also eine Parabel.
(Und mit LaTeX würde das alles viel schöner aussehen – bei ASCII-Formatierung verliert man so schnell den Überblick.)
Um die Wurfweite zu bestimmen, setzen wir z gleich 0, und lösen nach x auf.
Es ergibt sich x=(-v0^2/2/g)*(-1 – sqrt(1 + 4 * g * h /v0^2))
Die Pluslösung würde hinter meinem Rücken liegen, sie ist deshalb nicht relevant.
h könnte ich ja noch schätzen, aber was v0 ist – da habe ich leider keine Ahnung, und kann deshalb die Wurfweite nicht angeben.
Zwar hätte ich die Weite (grob in Schrittlängen) ausmessen können, aber ich bin Theoretikerin (also berechnend), und keine Experimentalphysikerin. Sheldon hätte an meiner Stelle auch nicht selbst gemessen.
😀 Schon nicht immer einfach deinen Gedankengängen zu folgen, aber dennoch spannend bzw. lustig was manchmal dabei herauskommt.
VG Dieter
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Danke. Ja, manchmal fällt es mir selbst schwer, meine Gedanken nachzuvollziehen.
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Ich bin dann doch mehr der experimentelle Typ. Hier für Dich eine Simulation zum Experimentieren:
http://www.geogebra.org/material/simple/id/2962463
In Latex würden die Herleitungen wirklich schöner aussehen. WordPress hält diesbezüglich einige PlugIns bereit.
Grüße M.G. (@mPunktg)
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Danke für den Link.
Das ist wirklich interessant zum Rumprobieren, leider auf Flash basierend.
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Die App ist mit Geogebra gemacht (geogebra.org). Das sollte dann kein Flash sondern HTML5/Javascript sein. Läuft auch auf Iphone und android Tablets/Phones.
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„… WEB1.0 Site eines alten, weißen, abghängten Mannes,
ohne jedes Verständnis für Netzfeminismus und Genderstudies …“ – LOL. Das gefällt mir am besten 😉
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Zuerst hatte ich es af einem Windowsrechner ohne Flash probiert. Da ging es nicht – bzw. nur weiße Fläche.
Auf einem anderer Windowsrechner mit Flash lief es dann jedoch wunderbar.
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Nix Flash – nur müßte man jetzt noch wissen, weilche Höhe das Breakpointchen hat 😉
Und welche Abwurfgeschwindigkeit im Mittel von Frauen (wie der Käferjägerin) erreicht werden …;)
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Manches bleibt unbekannt.
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Hallo,
“ Zweimal im Jahr befindet sie sich an einem Punkt, wo sich Ekliptik und Himmelsäquator schneiden. “
Hmmm, schneiden die sich nicht immer (unter halt 23,5 Grad)?
Ist Äquinoktikum nicht vielmehr der Moment, wo die Schnittgerade (und damit der Himmelsäquator) den Sonnenmittelpunkt durchquert?
Grüße, Bernd
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Die zwei Ebenen scheiden sich immer unter diesem Winkel, das stimmt. Und sie haben eine gemeinsame Gerade.
Die Erdbahn alleine ist aber eine Ellipse auf der Ekliptik. Dort, wo diese Ellipse die Schnittgerade kreuzt, sind Frühlings- bzw. Herbstpunkt.
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„… bei ASCII-Formatierung verliert man so schnell den Überblick.“ – ah ja, daran liegt’s also, dann bin ich ja beruhigt … 😉
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Ja, ganz alleine daran.
Wenn du die Formeln angenehmer lesbar auf Papier schreibst, wirst du sicherlich alles ganz leicht nachvollziehen können.
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Du hast das Eichhörnchen verfehlt.
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Eichhörnchen? Häh?
Vielleicht sollte ich mal über Eichbosonen oder Eichtheorien bloggen.
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Wer den Schwerpunkt auf Weg und Aufwand legt, hat erfahrungsgemäß das Ziel verfehlt. Da du wahrscheinlich wie ein fähiges Mädchen wirfst, ist anzunehmen, dass das Ziel kein Kastanienbaum war (den du grundsätzlich getroffen hättest), sondern ein bewegliches. In Betracht kommen Passanten und deren Haustiere. Keine plausiblen Ziele. Kurz: Eichhörnchen.
Nebenbei, beim Werfen – und Fangen – ist Heuristik vorzugswürdig. Wie ging Sheldons Bieber-Counterfactual? (… würdest du einen Bieber treffen?).
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Ach so.
Nein, es gab kein spezifisches Ziel. Ich wollte nur der Kastanie einen Impuls verleihen, so dass sie eine schöne Wurfparabel fliegt.
Auf Menschen oder Tiere würde ich niemals zielen.
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Nimmst du Schönheit „genotypisch“ oder spontan phänotypisch wahr?
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Schönheit hängt ab vom persönlichen Geschmack.
Aber was könnte schöner sein, als eine mathematische Formel?
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Anne: „Aber was könnte schöner sein, als eine mathematische Formel?“
Weibliche Form.
Die Frage wie sie zustande kommt ist interessant. Gesetze und Ordnung fasse ich aber nicht in Schönheit, sonder als Eleganz.
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Für Ästhetik und Schönheit gelten allgemeine Kriterien wie Symmetrien oder Goldener Schnitt.
Du solltest mal „Gödel, Escher, Bach“ lesen.
Ist dir eigentlich schon aufgefallen, dass die meisten abstrakten Begriffe grammatikalisches Femininum (Genus) sind?
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Die meisten wissen noch nicht mal, was UTC oder Zulu Time ist und du postest hier wieder einmal die Wahrheit über eliptische Zyklen von Mutter Erde. Geil.
Gruß an Carsten, ich leide gemeinsam.
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Manchmal wird hier eben so richtig abgenerdet.
Carsten geht es inzwischen wieder einigermaßen, danke. Ich hoffe, dir auch.
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Leider nein ..
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Dann dir gute Besserung!
Wenn das Wetter nur etwas frühlingshafter wäre, dann ginge es uns allen besser.
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„Eine andere gedachte, (nicht ganz) raumfeste Ebene ist der Himmelsäquator, den man sich vorstellen kann als unendlich fortgesetzte Schnittebene durch die Erde in Höhe ihres Äquators.
Diese beiden Ebenen spannen einen Winkel von 23.5° auf.
Die Erde zieht also ihre Bahn auf der Ekliptik. Zweimal im Jahr befindet sie sich an einem Punkt, wo sich Ekliptik und Himmelsäquator schneiden.“
Aber Ekliptik und Himmelsäquator schneiden sich doch immer in der aktuellen Position der Erde, oder?
Ist glaub das besondere wär eher, wenn die Ebenen identisch werden, also sich in allen Punkten schneiden, und der WInkel zw. ihnen 0 wird.
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Du hast recht. Ich wollte es erst anders formulieren (mit Normalenvektoren).
Ich bezog mich auf eine Ebene, die parallel zum Himmelsäquator ist, und durch die Sonne geht.
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Hallo,
„Dort, wo diese Ellipse die Schnittgerade kreuzt, sind Frühlings- bzw. Herbstpunkt“
Sorry Anne, kann dem nicht folgen: Die Schnittgerade geht doch wohl immer (in erster, zweiter… Näherung) durch den Erdmittelpunkt und liegt damit immer in der Ebene der Ellipse. Aber erst wenn diese Gerade – zweimal im Jahr – durch den Sonnenmittelpunkt führt, ist Equinox, oder?
Grüße, Bernd
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Ja, stimmt. Mein Fehler.
Statt des Himmelsäquators meinte ich eine Ebene parallel dazu, die immer durch die Sonne geht.
(Während gewisser Zyklusphasen sollte man so etwas nicht schnell noch formulieren. 🙄
Aber schön, wenn die Leser mitdenken, und mich darauf aufmerksam machen.)
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Liebe Breakpoint, verstanden habe ich nicht viel, aber das Wort „Himmelsäquator“ nehme ich mir mal zur weiteren Verwendung mit… 🙂 Egal, ob wissenschaftlich betrachtet oder nicht: So ein Kastanienwurf ist befreiend und verbindend zugleich. Ich freu‘ mich, dass Du auch immer wieder dabei bist!
Liebe Grüße, Theo
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Aber gerne doch, Theobromina.
Hoffentlich klappt es das nächste Mal auch wieder.
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Btw, war das eine Übungsaufgabe?
Dass v unbekannt ist war ja schon vorher klar; aber eigentlich müsste man v und h aus der Wurfweite berechnen können, also bei fixen 45 Grad.
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Im 1. Semester haben wir mal so etwas ähnliches ausgerechnet. Da ging es darum, den maximalen Wurfwinkel zu bestimmen, in Abhängigkeit auch vom Steigungs- bzw. Neigungswinkel des Geländes.
Aus den drei Größen Abwurfhöhe, Anfangsgeschwindigkeit udn Wurfweite muss man zwei kennen, um die dritte berechnen zu können.
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