Elfhundertvierzig

Schon ziemlich lange wollte ich einmal etwas über die diskrete Mathematik der Strickmaschen schreiben.

Strickmaschen haben es an sich, dass sie ganzzahlig sind. Es ist also unsinnig, mit Bruchzahlen oder irrationalen Wurzeln zu rechnen.
Dennoch ist es möglich, (näherungsweise) eine beliebig geformte Fläche mit ihnen zu bedecken.

Im folgenden werde ich immer davon ausgehen (obwohl dies strenggenommen nicht zutrifft, würde aber die Sache nur unnötig verkomplizieren, was es nicht wert ist, da der Fehler nur relativ gering ist, und durch geeignete Methoden ausgeglichen werden kann), dass das Seitenlängenverhältnis einer einzelnen Masche gleich eins ist. Zudem ist eine Masche etwas elastisch, so dass sie sich grundsätzlich in die passende Richtung zieht.
Auch auf Feinheiten wie das Verhalten von Rechten und Linken, Aufschlägen, etc. werde ich nicht eingehen, es sei denn, es ist im jeweiligen Kontext relevant.

Keine große Kunst ist es, eine rechteckige Fläche so stricken, bei der man einfach eine konstante Anzahl Maschen immer hin und her strickt. Ebenso ist ein zylindrischer Schlauch, bei dem Anfang und Ende des Anschlags verbunden sind, und man immer außen herum strickt, nicht sehr schwierig.
Etwas interessanter ist es, eine etwa kreisförmige Decke zu stricken. Man beginnt in der Mitte mit möglichst wenigen Maschen, die man zum Kreis schließt. Angenommen, man hat für eine bestimmte Umrundung beim Radius R (in Maschenhöhen) eine Anzahl von M(R) Maschen, dann braucht man für die nächste Umrundung M + 2*pi Maschen mehr, wie jeder leicht selbst nachrechnen kann. Da 2*pi transzendent ist, nutzt man in der Praxis 6 Maschen pro Runde, bzw. 12 in jeder zweiten Runde, und kann evtll. ab und zu doppelt so viel aufnehmen, um den Bruchteil auszugleichen. Die Maschenaufnahme sollte bei jeder entsprechenden Runde gut über den Azimutwinkel verteilt werden, sonst wird das Kunstwerk eher sechseckig, wenn sie immer an der gleichen Stelle erfolgt.

Eine konische Oberfläche (beispielsweise für den Hüftteil eines Strickrocks oder eine Zipfelmütze) erreicht man, indem man pro Runde nur weniger als im Schnitt sechs Maschen aufnimmt.
Durch gezielte Auf- oder Abnahme kann man die Metrik so ziemlich jeder Oberfläche nachbilden. Beispielsweise ließe sich eine Kugel stricken, indem man – von nur wenigen Maschen ausgehend, anfangs sechs Maschen pro Runde aufnimmt, dann immer weniger, bis beim Äquator der maximale Umfang erreicht ist, und danach wieder entsprechend Maschen abnimmt, bis schließlich am Pol sämtliche Maschen verschwunden sind. Die Maschenanzahl in Abhängigkeit von der Rundenzahl ist proportional zum Sinus, die Änderung der Maschenanzahl folglich zum Cosinus.

Bleiben wir in der Ebene. Die Aufgabe ist nun, eine rechteckige Decke zu stricken, mit den Seitenlängen (in Strickmascheneinheiten) A und B, o.B.d.A sei A größer B. Wir schlagen A – B Maschen an, und stricken immer wieder außenrum (d.h. auch an der Unterkante und den sich entwickelnden Seitenkanten). Wir finden, dass der Umfang in jeder Runde um 8 Maschen zunehmen muss, damit das Strickstück flach bleibt, was jeweils 2 Aufschläge an jeder Ecke erfordert. (Wobei mir wieder mein Strickzeug einfällt, das leider ziemlich verwaist ist, und nur selten Fortschritte macht).

Oder wie strickt man eine Umhüllung für einen Würfel?
Natürlich kann man sechs Quadrate stricken, und die dann passend zusammennähen. Aber das ist langweilig. Oder man strickt ein Würfelnetz. Auch öde. Stattdessen kann man an einer Kante oder Ecke des Würfels beginnen (oder auch in der Mitte einer Seitenfläche – der Möglichkeiten sind viele), und – ohne jetzt in Einzelheiten zu gehen – immer außenrum stricken, und dabei passend auf- , und später abnehmen.
Beispielsweise ließe sich ein Tetraeder stricken, indem man mit einer Kante beginnt, an ihr entlang, und an der Unterseite zurückstrickt, die Runde schließt, und dann immer weiter – bei konstanter Maschenanzahl außenherum strickt. Bei der richtigen Höhe (die jeder selbst ausrechnen darf – remember: only integer values allowed), werden die Maschen um 90° gegenüber der ursprünglichen Kante verdreht wieder zusammen zu einer neuen Kante gestrickt oder genäht.

Auch mit Legosteinen kann man Diskrete Mathematik betreiben. In der Tat ist es so, dass dies als Kind so ziemlich mein erster aktiver Bezug zur Mathematik war. Es machte mir Spaß, auszurechnen, wieviele Legosteine z.B. ein Puppenhaus benötigt.
Im Gegensatz zu Strickmaschen sind Legosteine allerdings nicht flexibel und elastisch, dafür eignen sie sich auch zum Bauen für massiver und solider Körper (mit geraden Kanten), während sich das Stricken für ebene und gekrümmte Flächen eignet (die man selbstverständlich schließen und mit einem passenden Material füllen kann).