breakplaining: #TheoPhys #Quantenmechanik #QM – Schrödingergleichung //3052

Erstellt am Freitag, 31. Mai 2024 von Anne Nühm (breakpoint)

Eine weitere Lektion zur Quantenmechanik steht an. Heute möchte ich die Schrödingergleichung vorstellen.
Bei meinem Eintrag zur Hamilton-Mechanik hatten wir die Hamiltonfunktion H(q,t) gefunden, die die Summe aus kinetischer Energie T und potentieller Energie V ist. Diese Terme werden dabei in Abhängigkeit der Ortskoordinaten q und der zugehörigen kanonischen Impulse p (partielle Ableitungen der Lagrangefunktion nach der jeweiligen Ortskoordinate q) geschrieben.
Es ist äußerst unbefriedigend, aber für den Übergang von der klassischen Hamilton-Mechanik zur Quantenmechanik gibt es keine strenge Herleitung. Der Prozess ist heuristisch und funktioniert halt.

Was man macht, ist die kanonischen Impulse durch Impulsoperatoren zu ersetzen. Aus p wird h_quer/i * d/dq. Dabei ist h_quer = h/2/pi, mit h als Planck’schem Wirkungsquantum. In natürlichen Einheiten wird h_quer gleich 1 gesetzt. Die Ableitung d/dq soll hier die partielle Ableitung nach der Ortskoordinate q sein. ANSI gibt leider nicht mehr her, aber bei diesen einfachen Beispielen (die nur eine Dimension berücksichtigen) macht es keinen Unterschied. [Privatnotiz nur für mich: Das Vorgehen lässt sich halbwegs plausibel machen, wenn man auf die Lagrangedichte eine infinitesimale Verschiebung anwendet, und berücksichtigt dass die Translationssymmetie des Raumes nach dem Noether-Theorem zum Impuls als Erhaltungsgröße führt.]
Gleichzeitig wird die Hamiltonfunktion H durch den Hamiltonoperator i*h_quer * d/dt ersetzt. Dabei soll d/dt für die partielle Ableitung nach der Zeit stehen.
Den Hamiltonoperator angewandt auf die Wellenfunktion Psi, ergibt die Schrödingergleichung i * dPsi/dt = -1/2/m * d^2Psi/dq^2 + V(q,t) (für den nicht-relativistischen Fall und konservative Kräfte).
Andererseits ist H aber auch die Energie. Man erhält die Energieeigenwertsgleichung H Psi = E*Psi.

Ja, ich weiß, das ist sehr abstrakt, und ohne einen ordentlichen Formelsatz auch nicht gut lesbar.
Schauen wir uns deshalb den allereinfachsten Fall an, nämlich das Verhalten eines freien Teilchens, d.h. ein Teilchen, auf das keine äußeren Kräfte wirken. Also lassen wir V(q,t) = const. = 0 sein.
Wie man sich leicht überzeugen kann, lässt sich die Differentialgleichung 2*i*m * dPsi/dt = – d^2Psi/dq^2 durch eine ebene Welle lösen. Dabei ist die Kreisfrequenz omega gleich E, und die Wellenlänge lambda indirekt proportional zur Quadratwurzel der Masse m und der Energie E.
Nun gehört zur Lösung eines bestimmten Problems auch die Anpassung an die jeweiligen Anfangsbedingungen. Das heißt, man wählt Amplitude und Phase der Welle entsprechend.

Die Lösung der Schrödingergleichung kann auch ein ganzes Wellenpaket sein, also eine Überlagerung („Superposition“) von Einzelwellen. Im Laufe der Zeit wird dieses Wellenpaket auseinanderlaufen. Das ergibt sich aus der Zeitableitung der Schrödingergleichung. So gesehen ist die Schrödingergleichung eine komplexe Wärmeleitungsgleichung.

So, bevor es noch verworrenener wird, beende ich diesen Beitrag. Das nächste Mal sehen wir uns ein Teilchen im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden an.

Hamiltonfunktion: \Large H(q_i,t)=T(p_i,t)+V(q_i,t)=\frac{p^2}{2 m}+V(q_i,t) (1)

Impulse und Hamiltonfunktion (1) durch Operatoren ersetzen:
\Large p_i \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q_i},  \Large H \rightarrow i \hbar \frac{\partial}{\partial t}

Schrödingergleichung: \Large i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(q_i,t)=H \Psi(q_i,t)=E\cdot\Psi(q_i,t) (2)

Für freies Teilchen: \Large H \Psi(q_i,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial q_i^2}\Psi(q_i,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(q_i,t) (3)

Ansatz: \large \Psi=A\text{ cis}(k_i q_i-\omega t) (4)
Abgeleitet:
\large \frac{\partial\Psi}{\partial q_i}=i k_i A\text{ cis}(k_i q_i-\omega t)=ik_i\Psi
\large \frac{\partial^2\Psi}{\partial q_i^2}=-k_i^2 A\text{ cis}(k_i q_i-\omega t)=-k_i^2\Psi
\large \frac{\partial\Psi}{\partial t}=-i \omega A\text{ cis}(k_i q_i-\omega t)=-i\omega\Psi, daraus folgt mit (2) \large E=\hbar\omega=h\nu
Alle eingesetzt in (3):
\Large (-\frac{\hbar^2}{2m})(-k_i^2)=(i\hbar)(-i\omega), also \Large \hbar k_i^2=2m\omega
k ist der Wellenvektor \Large k=\frac{2\pi}{\lambda}=\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}=\frac{p}{h}

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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11 Antworten zu breakplaining: #TheoPhys #Quantenmechanik #QM – Schrödingergleichung //3052

  1. Plietsche Jung schreibt:
    Samstag, 1. Juni 2024 um 10:25

    Wo bleibt endlich der Photonenantrieb?
    Ich muss in 25 Minuten auf dem Mars sein …

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  2. pirx1 schreibt:
    Samstag, 1. Juni 2024 um 17:29

    Hoffentlich bleibt ihr von drohendem Hochwasser verschont!

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  3. Pingback: breakplaining: #TheoPhys #Quantenmechanik #QM – Potentialtopf //3059 | breakpoint

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