breakplaining: #TheoPhys #Mechanik – Hamilton //2622

Bei meinem letzten Beitrag über Theoretische Mechanik waren wir bei der Lagrangefunktion L = T – V (T: kinetische Energie, V: potentielle Energie) gelandet.
Diesmal wagen wir den Sprung zur Hamilton-Funktion.

Der mathematische Übergang von der Lagrangefunktion zur Hamiltonfunktion nennt sich Legendre-Transformation. [Der Hintergrund ist das Hamilton’sche Prinzip, nach dem die Wirkung bei physikalischen Abläufen extremal wird – wobei „Wirkung“ halt auch wieder mal so definiert ist, dass es eben passt.]
Der Einfachheit halber beschränke ich mich hier auf einen einzigen Körper und eine einzige Koordinatenrichtung q. Der Formalismus lässt sich problemlos auf mehrere Körper mit mehr Dimensionen erweitern. Das erhöht bloß den Schreibaufwand, ohne neue Erkenntnisse zu bringen.
Den (kanonischen) Impuls p erhalten wir dabei als partielle Ableitung der Lagrangefunktion nach der Geschwindigkeit v.
Die Legendretransformation läuft darauf hinaus, von der doppelten kinetischen Energie (sprich das Produkt aus Geschwindigkeit und Impuls) die Lagrangefunktion abzuziehen, und diese nicht mehr von den Geschwindigkeiten sondern stattdessen von den Impulsen abhängig zu schreiben. Ich glaube, ich erspare es mir und euch besser, das ausführlicher darzustellen. Das sind alles nur mathematische Tricksereien. Hätte es auf diese heuristische Weise nicht funktioniert, hätte man es halt irgendwie anders versucht.
Im Endeffekt erhalten wir die Hamiltonfunktion H(q,p,t) = T + V, was der Gesamtenergie des Systems entspricht.

Während der Lagrangeformalismus eine Differentialgleichung 2. Ordnung pro Freiheitsgrad liefert, erhalten wir beim Hamilton-Formalismus ein System zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.
Die erste Gleichung besagt, dass die zeitliche Ableitung der Ortskoordinate dq/dt (also die Geschwindigkeit v) gleich der partiellen Ableitung der Hamiltonfunktion nach dem Impuls ist.
Die zweite Gleichung bedeutet entsprechend, dass die zeitliche Ableitung des Impulses dp/dt (also die Kraft F) gleich minus der partiellen Ableitung der Hamiltonfunktion nach der Ortskoordinate ist.
Beide Gleichungen weisen eine Symmetrie auf, da die Form der Gleichungen (bis auf das Minuszeichen) gleich ist. Ort und Impuls sind „kanonisch konjugiert“.

Ich werde das jetzt an einem einfachen Beispiel veranschaulichen. Am besten schreibt ihr wieder auf einem Zettel mit.
Gehen wir davon aus, dass ein Körper der Masse m an einer Feder der Härte k befestigt ist, wo er in einer Richtung frei und reibungslos hin und her schwingen kann. Die kinetische Energie beträgt T(p) = p^2/(2*m). Für die potentielle Energie haben wir ein harmonisches Potential V(q) = k * q^2/2. Die Hamiltonfunktion H ist die Summe beider Terme.
dq/dt ist dann die Ableitung von H nach dem Impuls, also dq/dt = p/m (1).
dp/dt ist die negative Ableitung von H nach dem Ort, also dp/dt = -k*q (2).
Zur Lösung machen wir den Ansatz q(t) = q0 * cis(omega*t) (3), wobei q0 die Anfangsauslenkung bezüglich der Ruhelage ist. Um das Procedere nicht unnötig zu verkomplizieren, gehen wir davon aus, dass am Anfang die Geschwindigkeit respektive der Impuls gleich 0 ist.
Den Impuls p(t) erhalten wir nach (1) als Produkt der Masse mit der Ableitung dq/dt.
Den Ansatz (3) eingesetzt, wird also p(t) = m * dq/dt = m * i*omega * q0*cis(omega*t) [wobei benutzt wurde, dass cis'(x) = i*cis(x)].
Wenn wir jetzt den so berechneten Impuls nochmal nach der Zeit differentieren, so ist dp/dt = -m * omega^2 * q0*cis(omega*t) = -m * omega^2 * q(t).
Andererseits gilt gemäß (2), dass dp/dt = -k*q. Gleichsetzen liefert m * omega^2 = k, oder aufgelöst nach omega = sqrt(k/m).
Unser Ansatz für q(t) hat die Differentialgleichung also gelöst.
Für p(t) können wir weiter umformen m*q0*omega * cis(omega*t)*cis(pi/2) = m*q0*omega * cis(omega*t + pi/2).
Man beachte, dass der (beim Differenzieren entstandene) Faktor i zu einer Phasenverschiebung zwischen Ort und Impuls von 90° führt.

Es ist üblich, kanonisch konjugierte Variable in einem Phasendiagramm darzustellen. Wenn man den Ort als Abszisse und den Impuls als Ordinate aufträgt, erhält man in diesem ungedämpften Fall eine Ellipse (bei passender Skalierung einen Kreis). Die harmonsche Schwingung unseres System lässt sich also vorstellen als kreisförmiger Umlauf im Phasenraum. Der Körper durchläuft innerhalb einer Periodendauer jeden Punkt auf dieser Kurve.
Die Fläche innerhalb dieser Kurve entspricht der Wirkung. Ein Kreis ist eine Minimalfläche, so dass das Hamilton’sche Prinzip (extremale Wirkung) erfüllt ist.

OK – lassen wir das alles erst einmal sacken. Zumindest ein grobes Verständnis wäre unabdingbare Voraussetzung, um mit der Quantenmechanik weitermachen zu können. Ob ich dazu tatsächlich Blogeinträge schreiben werde, lasse ich erst mal offen. Zumindest in nächster Zukunft habe ich nichts dergleichen vor.


\frac{dq}{dt} = +\frac{\partial H}{\partial p}
\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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2 Antworten zu breakplaining: #TheoPhys #Mechanik – Hamilton //2622

  1. Mika schreibt:

    Marketing ist nicht so deine liebste Beschäftigung?

    Gefällt 1 Person

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