breakplaining: Symmetrie //2817

Ein Eintrag über Symmetrie steht schon seit einigen Jahren auf meiner To-Blog-Liste. Aber wenn ich die nötige Inspiration gehabt hätte, fehlten mir Zeit und Muße, hätte ich Gelegenheit gehabt, fehlte die Motivation dazu.
Das ist zwar ein faszinierendes Thema, aber man kommt auch schnell vom Hundertsten ins Tausendste, wenn man alle Einzelheiten darstellen will – was nicht meiner Intention entspricht.
Naja, gehen wir’s endlich an – möglichst kompakt und prägnant, ohne in unnötige Details zu gehen.

Wer Symmetrie hört, denkt vielleicht zuerst an einen Schmetterling, oder an eine sechsblättrige Blüte. Aus der Schule erinnert man sich an die Achsensymmetrie (Spiegelung an einer Achse) und die Punktsymmetrie (Spiegelungen an zwei aufeinander senkrechten Achsen, bzw. Drehung um 180°).
Geometrische Flächen können Symmetrieachsen haben. Ein Rechteck etwa hat zwei Achsen, bei denen es durch Spiegelung auf sich selbst abgebildet wird. Bei einem Quadrat sind es vier, weil die Diagonalen hinzukommen. Ein gleichschenkeliges Dreieck hat eine Symmetrieachse, ein gleichseitiges drei. Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen: er ist rotationssymmetrisch.
Man nennt eine Symmetrie, die ein Objekt bei Drehung um n Grad auf sich selbst abbildet, (360°/n)-zählig. Das ist auch für Parkettierungen wichtig.
Bei Körpern können Symmetrieflächen vorhanden sein. Wie viele solcher Flächen hat ein Quader? Wie viele ein Würfel? Welche Symmetrieachsen hat ein Würfel, bei denen er durch eine 90°-Drehung auf sich selbst überführt wird? Wenn man einen Würfel um eine seiner Raumdiagonalen um 120° dreht, wird er auch auf sich selbst abgebildet. Das ist eine dreizählige Symmetrie. Weitere geometrische Beispiele denkt ihr euch bitte selbst aus.

Symmetrie geht weit über rein geometrische Operationen wie Spiegeln, Drehen, Verschieben hinaus, bei denen kongruente Figuren entstehen.
Kurz und allgemein verständlich ausgedrückt, bedeutet Symmetrie, dass man etwas mit einem Objekt macht (d.h. eine Symmetrietransformation ausführt), das sich dadurch nicht in seiner Form oder seinem Verhalten ändert, bzw. bestimmte Eigenschaften beibehält.

Wer hat schon von Skalensymmetrie gehört? Skalensymmetrie liegt vor, wenn man die Größe eines Objektes verändern kann. In Fraktalen kommt häufig Skalensymmetrie vor, in makroskopischen Körpern dagegen nicht. Ein Floh kann nicht höher springen als ein Mensch.

In der Physik wird der Symmetriebegriff weitergefasst.
Es macht keinen Unterschied, ob sich ein Objekt an einem bestimmten Ort befindet (bzw. welchen Koordinatenursprung man benutzt), oder an einem anderen. Es gelten die gleichen Naturgesetze. Und die galten bereits vor Milliarden Jahren und werden auch noch nächste Woche gültig sein. Raum und Zeit sind invariant gegenüber Verschiebungen. Aus dieser Translationssymmetrie leiten sich Impuls- und Energieerhaltung her (gemäß Noether-Theorem).
Die Drehimpulserhaltung folgt entsprechend daraus, dass man das Koordinatensystem beliebig drehen kann, ohne dass sich die grundlegenden Zusammenhänge ändern.

Im Standardmodell gelten die Symmetriegruppen SU(3)*SU(2)*U(1).
Das sind unitäre und spezielle unitäre Gruppen. Das U(1) ist für den Elektromagnetismus zuständig. Die entsprechende Erhaltungsgröße ist die elektrische Ladung.
SU(2)*U(1) beziehen sich auf die Elektroschwache Kraft, und SU(3) ist die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik. Die Symmetriegruppen sind mit Quantenzahlen verknüpft, die erhalten werden.
Falls jemand schon mal von Supersymmetrie (SuSy) gehört hat – das ist die Symmetrie zwischen Fermionen (halbzahliger Spin) und Bosonen (ganzzahliger Spin). Dabei wird jedem Elementarteilchen des Standardmodells ein supersymmetrischer Partner zugeordnet (z.B. Higgs-Boson – Higgsino, Elektron – Selektron, Photon – Photino).

Gerade habe ich es wieder einmal besonders gemerkt: es ist nicht möglich, gleichzeitig kurz, leicht verständlich, sowie allgemein gültig zu formulieren. Man muss Abstriche machen. Entweder der Text ufert aus, wird zu kompliziert oder zu unspezifisch.
Vielleicht konnte ich ja doch – trotz aller Unzulänglichkeiten – einen kleinen Einblick über die Bedeutung von Symmetrien geben.

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Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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12 Antworten zu breakplaining: Symmetrie //2817

  1. keloph schreibt:

    auftrag erfüllt, wobei die letzten aspekte eher spezialisten verständlich sein dürften.

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  2. Plietsche Jung schreibt:

    Das ist schon sehr speziell.
    Ich meine, der Beitrag schreckt eher ab als dass er Interesse weckt.
    Wenn ich mir diese Detail ansehe, muss ich leider resignieren.
    https://de.wikipedia.org/wiki/Quantenchromodynamik#Nichtabelsche_Eichtheorie

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  3. blindfoldedwoman schreibt:

    Also ich denke bei Symmetrie als erstes an Gestaltung. 💁‍♀️

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  4. pirx1 schreibt:

    vgl.: „Symmetrie ist die Ästhetik der Einfältigen“ (angeblich: Ludwig Mies van der Rohe, Pablo Picasso, Salvatore Dali oder Friedensreich Hundertwasser) – wenn die wüssten …

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  5. pingpong schreibt:

    OT:
    Im Standardmodell gelten die Symmetriegruppen SU(3)*SU(2)*U(1).
    Das sind unitäre und spezielle unitäre Gruppen.

    Diese Gruppen sind im wesentlichen Matrizen.
    SU(2) ist beispielsweise isomorph (das bedeutet informell: ist dasselbe) wie die Rotationsgruppe SO(3), das sind Rotationsmatrizen im dreidimensionalen Raum.

    Eine Rotationsmatrix ist (der Einfachheit halber ein Beispiel in 2D) eine Matrix
    [ cos(alpha) -sin(alpha) ]
    [ sind(alpha cos(alpha) ]
    Multipliziert man so eine Matrix auf einen Punkt (x,y), erhält man einen neuen Punkt, der um den Winkel alpha rotiert ist.

    Solche Matrizen bilden eine Gruppe, vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie (Achtung: Gruppentheorie ist eines der abstrakteren Gebiete der Mathematik 😉 )

    Interessant ist das u.a. deshalb, weil die Rotationsmatrix oben zwar 4 Elementen hat (eine 2×2 Matrix), aber nur einen Freiheitsgrad (den Winkel alpha). Nicht jede 2×2 Matrix ist eine Rotationsmatrix, die Elemente einer Rotationsmatrix sind nicht beliebig sondern hängen miteinander zusammen. U.a. solche Dinge werden in der Gruppentheorie untersucht.

    Für SO(3) gilt analoges: Eine 3×3 Matrix hat 9 Elemente, aber eine dreidimensionale Rotation hat nur 3 Freiheitsgrade.

    ontopic:
    Der interessanteste Aspekt ist für mich die Symmetriebrechung:
    https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetriebrechung
    https://de.wikipedia.org/wiki/Spontane_Symmetriebrechung
    Eine Symmetriebrechung tritt auf, wenn folgendes
    „man [kann] das Koordinatensystem beliebig drehen kann, ohne dass sich die grundlegenden Zusammenhänge ändern“ nur mehr bedingt gilt.
    Bei Symmetriebrechung bezüglich Rotation gilt zum Beispiel Rotationsinvarianz nicht mehr: Rotationsinvarianz ist gegeben, wenn alle Zustände eines Systems, die sich lediglich um den Parameter „Rotation“ unterscheiden, mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. D.h. wie man das System rotiert macht keinen Unterschied.
    Tritt Symmetriebrechung auf, macht es einen Unterschied.

    Die Forschung über Symmetriebrechung hat wesentliche Erkenntnisse in der theoretischen Physik und einige Nobelpreise hervorgebracht, siehe beispielsweise https://en.wikipedia.org/wiki/Renormalization_group

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    • In dieser Ausführlichkeit ist ein Blog m.E. kein passendes Medium, in dem alle Feinheiten haarklein dargestellt werden können. Meine Zielsetzung war es viel eher, Lesern ohne fachliche Vorbildung einen kleinen Ein- und Überblick zu geben.
      Ich hätte zwar fast etwas zur Symmetriebrechung geschrieben, aber es dann doch gelassen. Sonst hätte ich u.a. den Higgs-Mechanismus zumindest erwähnen wollen. [Mir dünkt aber, ich hätte mal etwas zur Brechung der CPT-Symmetrie bei der Elektroschwachen WW geschrieben, wodurch es nur linkshändige Neutrinos gibt.]
      Es wäre weit zu umfangreich geworden, und die meisten meiner Leser interessiert das denn doch nicht so im Detail.

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      • pingpong schreibt:

        In dieser Ausführlichkeit ist ein Blog m.E. kein passendes Medium, in dem alle Feinheiten haarklein dargestellt werden können.

        Deshalb habe ich mit möglichst einfachen Worten versucht darzustellen, dass es sich bei den „unitären und speziell unitären Gruppen“ (wer weiß schon was das ist?) um einfache Rotationsmatrizen handelt.

        Meine Zielsetzung war es viel eher, Lesern ohne fachliche Vorbildung einen kleinen Ein- und Überblick zu geben.

        Wieso dann die speziellen unitäre Gruppen überhaupt erwähnen, ohne dazuzusagen dass es sich um simple Rotationen handelt?

        Ich hätte zwar fast etwas zur Symmetriebrechung geschrieben, aber es dann doch gelassen. Sonst hätte ich u.a. den Higgs-Mechanismus zumindest erwähnen wollen.
        Es wäre weit zu umfangreich geworden, und die meisten meiner Leser interessiert das denn doch nicht so im Detail.

        Ich habe versucht, das grundlegende Prinzip der Symmetriebrechung darzustellen, ohne dabei in die Tiefen der QED abzusteigen. Vielleicht findet es der eine oder andere diese Ergänzung interessant.

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        • Rotationen werden nur im reellen, mehrdimensionalen Raum behandelt, während (spezielle) unitäre Abbildungen in einem komplexen Hilbertraum stattfinden.
          Auch wenn es bei der gruppentheoretischen Behandlung dabei Ähnlichkeiten gibt, kann man sie doch nicht gleichsetzen. IMHO verwirren solche Vergleiche unbedarfte Leser eher, als dass sie sie erleuchten.

          Aber dennoch danke für die Ergänzungen. Die Leser hier sind ja eine inhomogene Gruppe mit unterschiedlichen Interessen und Vorbildungen. Der eine oder andere mag daraus einen Nutzen ziehen.

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          • pingpong schreibt:

            Rotationen werden nur im reellen, mehrdimensionalen Raum behandelt

            Wer behauptet denn so etwas?

            Elemente der SU(n) sind, in einem sehr buchstäblichen Sinn, Rotationen in einem komplexen Raum. Zufällig ist SU(2) auch äquivalent (isomorph) zu Rotationen in einem dreidimensionalen reelen Raum. Mann kann solche Rotationen als 2×2 komplexe Matrix oder als 3×3 reelle Matrix darstellen.
            Die Verbindung wird deutlich, wenn man bedenkt, dass 3d Rotationen oft auch als (komplexe) Quaternionen mit Norm=1 dargestellt werden – ebenso wie Elemente der SU(2)!

            Es ist nicht bloß ein approximativer Vergleich. Diese Strukturen sind in einem sehr fundamentalen Sinn tatsächlich dasselbe. Diesen Umstand zu verdeutlichen ist für das Verständnis sehr hilfreich, weil es dem unbedarften Leser dadurch möglich wird, die Alltagserfahrungen (jeder weiß was eine Rotation ist) mit komplizierten und abstrakten mathematischen Konstrukten („spezielle unitäre Gruppe“) in Verbindung zu setzen.

            Meiner Erfahrung nach sind es solche gedanklichen Verbindungen, die der modernen und oft abstrakten Mathematik viel von ihrem Schrecken nehmen. Wer sich verdeutlicht, dass mit „spezielle unitäre Gruppe“ im Wesentlichen Rotationen gemeint sind, tut sich beim Verständnis leichter.

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