Die wunderbare Welt des Teilens //2691

Im Folgenden verstehen wir unter „Zahl“ eine natürliche Zahl. „Teilbar“ soll bedeuten, dass sich eine Zahl ganzzahlig ohne Rest dividieren lässt, also eine Integer-Division aufgeht, bzw. der jeweilige Modulo gleich 0 ist.
Aus der Schule erinnern wir uns an verschiedene Teilbarkeitsregeln, die sich alle auf das Dezimalsystem beziehen:
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. Allgemeiner: Eine Zahl lässt sich durch 2^n teilen, wenn ihre letzten (i.e. least significant) n Ziffern durch 2^n teilbar sind.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Allgemeiner: Eine Zahl lässt sich durch 5^n teilen, wenn ihre letzten n Ziffern durch 5^n teilbar sind.
Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
Weniger bekannt ist, dass eine Zahlt durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Für 7 gibt es keine so richtig praktikable Regel.
Es sei denn, man rechnet im Oktalsystem. Dann gilt, dass eine Zahl sich durch 7 teilen lässt, wenn ihre Quersumme durch 7 teilbar ist.
Ein einfaches Beispiel: 42 = 5*8 + 2 = \52. 5 + 2 = 7. 7 ist durch 7 teilbar. Also lässt sich 42 durch 7 teilen.
(Noch einfacher wäre es natürlich im Heptalsystem. Da müsste nur die letzte Ziffer 0 sein. Aber Basis 7 ist völlig ungebräuchlich. Dabei wäre sie für Wochentage sogar nützlich.)
Im Oktalsystem lässt sich eine Zahl durch 2|4|8 teilen, wenn ihre letzte Ziffer durch 2|4|8 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist.

Im Hexadezimalsystem finden wir ähnliche Regeln: Durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer in 0,2,4,8,A,C,E ist. Durch 4 teilbar, wenn die letzte Ziffer in 0,4,8,C ist. Durch 8 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 8 ist. Durch 16 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.
Wenn die Quersumme sich durch 3 teilen lässt, gilt das ebenso für die ganze Zahl. Analoges gilt für die Teilbarkeit durch 5, und sogar durch 15.
Teilbarkeit durch 17 ist gegeben, wenn die alternierende Quersumme durch 17 teilbar ist.

Gebräuchlich ist auch noch das Sexagesimalsystem. Anhand der letzten Stelle (entsprechend der Notation können das zwei Ziffern sein) erkennt man die Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Die Quersumme und alternierende Quersumme sind diesmal nicht sonderlich hilfreich, da die 60 ausgerechnet zwischen zwei Primzahlzwillingen angesiedelt ist. Und wen interessiert es schon, ob eine Zahl sich durch 59 oder 61 teilen lässt?

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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5 Antworten zu Die wunderbare Welt des Teilens //2691

  1. Plietsche Jung schreibt:

    Ein bißchen nerdy, nicht wahr ? 🙂

    Gefällt 1 Person

  2. Pingback: Zahlen im Kopf //2717 | breakpoint

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