breakplaining: Differentialgleichungen //2556

Wenn ich heute in einem Prosatext versuche zu erklären, was eine Differentialgleichung ist, so ist meine Zielgruppe ziemlich klein.
Diejenigen, die bereits wissen, was eine Dgl. ist, werden nichts Neues erfahren. Wer aus der Schule (oder sonst woher) keinerlei Erinnerung hat, was es mit Differentiation und Ableitungen auf sich hat, wird nicht genug verstehen, um einen Gewinn aus meinem Text zu ziehen (auch noch die zugrundeliegende Differentialrechnung oder gar Grenzwerte vorher zu erklären, würde wirklich zu weit führen). So wende ich mich heute vornehmlich nur an diejenigen dazwischen, denen Differenzierung zwar noch ein (zumindest vager) Begriff ist, die darüber hinaus aber noch nie etwas mit Differentialgleichungen zu tun hatten.
Ziel dieses Eintrags ist es, das Konzept der Differentialgleichung verständlich zu machen, und einen ersten Eindruck davon zu geben, wie man mit ihnen umgeht.
Nur ganz knapp zur Rekapitulation: die Ableitung f'(x) = df/dx einer Funktion f(x) stellt die Änderung dieser Funktion am Punkt x dar. Das ist im Prinzip die Steigung der Tangente an diesem Punkt.

Wer sich noch daran erinnert, wie man die Ableitung der Exponentialfunktion e^x berechnet, der weiß, dass diese Ableitung dann ebenfalls e^x ist. Also ist f'(x) = f(x). Und da hätten wir bereits unsere erste Dgl., in der ein Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitung besteht. Die Lösung wäre in diesem Fall die genannte e-Funktion.
Eine Differentialgleichung bestimmt den Verlauf und das Verhalten der Funktion, indem sie eine Beziehung mit deren Ableitungen vorgibt.
Während bei üblichen, (z.B. algebraischen) Bestimmungsgleichungen (z.B. 3*x – 6 = 0) die Lösung eine [oder auch mehrere] Zahl[en] (im Beispiel x = 2) ist, ist die Lösung einer Differentialgleichung eine Funktion (bzw. eine Funktionenschar, die zusammen mit den Anfangsbedingungen eine Funktion bestimmt). Bei einer Dgl. n-ter Ordnung besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und ihrer bis zu n-ten Ableitung. Eine gewöhnliche Dgl. ist nur von einer Variablen abhängig.

Ein weiteres Beispiel wäre f'(x) = 0. Bedeutet, dass sich die Funktion f(x) nicht ändert, also konstant ist.
Wenn f'(x) = 1, dann ist die Änderung konstant. Also ist die Lösung eine Gerade f(x) = x (ggf. bis auf eine additive Konstante).
Einfache Differentialgleichungen wie f'(x) = x lassen sich nach Separation der Variablen durch Integration lösen. Man erhält in diesem Fall f(x) = x^2/2.
Es gibt weitere Möglichkeiten, Differentialgleichungen zu lösen. Welche das genau sind, führt hier zu weit. Es reicht zu wissen, dass analytische Wege oft nicht zum Ziel führen, sogar numerische nicht immer. Für gewöhnlich macht man halt einen Ansatz, und überprüft, ob der die Dgl. erfüllt. Wenn ja, ist sie gelöst, ansonsten probiert man etwas anderes. Ein allgemeines erfolgversprechendes Verfahren gibt es nicht.

Häufig kommen in der Physik Differentialgleichungen der Form f“(x) = -f(x) vor (f“ ist dabei die zweite Ableitung d^2 f/dx^2). Ich überlasse es euch zunächst einmal, sich die Lösung zu überlegen. Das sollte mit Abiturwissen ohne weiteres möglich sein.

Auch das war eine lineare Differentialgleichung. Bei nicht-linearen bestehen kompliziertere Zusammenhänge. Beispielsweise kann die Gleichung f'(x) = k * f(x) * (1 – f(x)) geeignet sein, die Ausbreitung einer Infektionskrankheit zu modellieren. Die Funktion f(x) geht dabei quadratisch ein, was bei ihrer Lösung zum Chaos führen kann.
Außer diesen gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es auch partielle, die von mehreren Variablen auf unterschiedliche Weise abhängen können. Und es gibt entsprechend ganze Differentialgleichungssysteme. Beispiele dafür werde ich bringen, wenn ich in künftigen Posts die Nutzung von Differentialgleichungen in der Theoretischen Physik betrachte.
Auf weitere Feinheiten wie den Unterschied zwischen homogenen und inhomogenen Differentialgleichungen will ich hier nicht eingehen.

In der Schulmathematik wird nur die Abhängigkeit der Funktion f von einer Variablen x betrachtet, und die Ableitung f‘ geschrieben. In der Physik ist die Ableitung nach der Zeit d/dt der häufigste Use case. Dafür hat es sich als Abkürzung eingebürgert, statt eines Strichchens danach einen Punkt über den Funktionsnamen zu schreiben. Das geht aber nicht mit ASCII-Text.

Schließlich noch die Auflösung der kleinen Aufgabe f“(x) = -f(x). Die Lösung ist eine Kombination aus A*sin(x) + B*cos(x), bzw. C*cis(x+D), wobei die Konstanten so zu wählen sind, dass die Phase zu den Anfangsbedingungen passt.