Schnipsel der unendlichen Transzendenz – #piTag #piDay //2344

Heute ist pi-Tag. Ich habe trotzdem überlegt, wieder Tweets zu bringen, da ich mit denen inzwischen wieder im Rückstand bin.
Den pi-Tag habe ich schon auf unterschiedlichste Weise zelebriert. Die pi-Diät ist obligatorisch. Dann habe ich mehrmals Liedtexte gepostet, die pi lobpreisen. Auch Berechnungsmethoden hatte ich schon besprochen.
Nach all diesen Themen fiel mir für heuer erst mal nichts originelles ein, so dass mir Tweets als OK erschienen.

Dann jedoch kam mir die Idee, einmal ein paar Beispiele dafür zu geben, dass eine Zahl nicht rational ist, also unendlich viele, nicht-periodische Stellen nach dem Komma hat. Bei pi sind die Stellen ungeordnet. Es gibt auch transzendente Zahlen mit geordneten, konstruierten Ziffern. Man nimmt an, dass die Ziffern bei pi und anderen transzendenten Zahlen statistisch gleichverteilt, also „normal“ sind. Mathematisch bewiesen ist das aber noch nicht.

Seit letztem Jahr sind 31.4 Billionen Nachkommastellen von pi bekannt. Ich verlinke mal die erste Million von Nachkommastellen. Da kann jeder nachprüfen, ob er in der Ziffernfolge sein Geburtsjahr findet. Das genaue Geburtsdatum (im Format DMYY dürfte es sich öfter finden als YYYYMMDD) wird schon seltener sein. Hätten wir die ganzen 31.4 Billionen Stellen zur Verfügung, wäre es sicher dabei. Schaut nach, ob eure Telefonnummer enthalten ist. Man muss nur weit genug in den Nachkommastellen gehen, dann wird sie irgendwann auftauchen.
Noch nicht beeindruckt? Irgendwann tauchen auch mal tausend Nullen hintereinander auf. Irgendwo stehen sequentiell die erste Million Stellen von Wurzel 2. Und irgendwo, vermutlich sogar relativ weit vorne, ist auch die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest formuliert. Irgendwo steht auch der komplette Text (passend kodiert) meines Blogs. Oder der Bibel. Oder jedes andere literarische Werk. Oder beliebige Übersetzungen davon. Oder noch einmal mit etwas anderer Formatierung. Und mit beliebiger Kodierung. Irgendwo steht der komplette Inhalt eurer Festplatten.
Ja, so unendlich lang ist (nicht nur) pi. Niemand weiß, wie oft man Googolplex hochgoogolplexen müsste, um zur entsprechenden Nachkommastelle zu kommen.

Irgendwo in pi ist das vollständige Wissen des gesamten Universums kodiert. Und noch viel mehr Information. Leider ist das allermeiste nur weißes Rauschen.
Die sprichwörtliche Nadel im Heuhaufen ist nichts dagegen.


Hab übrigens mal zählen lassen, wie oft die einzelnen Ziffern in der ersten Million Nachkommastellen von π vorkommen:

0 99959
1 99758
2 100026
3 100229
4 100230
5 100359
6 99548
7 99800
8 99985
9 100106

Das entspricht dem Mittelwert von μ = 4.499934 über die erste Million Ziffern. Und wenn ich nur genug Zeit hätte, würde ich noch viel mehr mit diesen Nachkommastellen herumspielen.

Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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24 Antworten zu Schnipsel der unendlichen Transzendenz – #piTag #piDay //2344

  1. mijonisreise schreibt:

    Das sprengt mitunter die Vorstellungskraft des Geistes 😁

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  2. RAID schreibt:

    Ich finde diesen Text sehr schön. Eigentlich ist es völlig logisch was du schreibst, aber so aufbereitet regt es nochmal zum Staunen an.

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  3. Plietsche Jung schreibt:

    Wenn wir mit Warp Antrieb fliegen, liebe Anne, werden wir diese Nachkommastellen sicher brauchen. Luke wartet schon auf unseren Besuch 🙂 Mit Handtuch und 42 Geschenken.

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  4. ednong schreibt:

    Ist 9 dann bzgl der Anzahl ein Ausreißer? Denn eine gleichmäßige Verteilung ist des ja dann nicht, oder?

    Ist schon faszinierend. Definitiv.

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    • Die Anzahl von 9 ist gerade mal 1 Promille über dem statistisch zu erwartenden Wert. Es wurden ja nur 1e6 Ziffern berücksichtigt. Das ist nicht signifikant und völlig im Rahmen. Bei 5 und 6 ist die Abweichnung noch größer, und auch das OK.
      Je mehr Ziffern man auswerten würde, desto stärker ginge es zu einer Gleichverteilung über. (Wird vermutet, ist allerdings nicht bewiesen.)

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  5. Engywuck schreibt:

    es gab ja den Vorschlag, die ersten 768 Nachkommastellen zu lernen, um dann mit „…134999999 und so weiter“ aufhören zu können 😉

    wobei ja schon 50 Stellen mehr als ausreichen, um einen Kreis mit dem Radius der Erdbahn in Planck-Längen auszudrücken und für das beobachtbare Universum 65 oder so.

    Ohnehin ist es physikalisch gesehen sinnlos, mehr als fünfzehn Stellen oder so zu kennen, da keine Naturkonstante genauer bekannt ist als is zu dieser Anzahl gültiger Stellen (meines Wissens ist die genaueste die Rydberg-Konstante mit 12 gültigen Stellen). Da hat man dann sogar noch ein paar Stellen für Rundungsfehler 🙂

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  6. Pingback: Tweetreise nach Coronistan //2452 | breakpoint

  7. Renton schreibt:

    Ich habe nie verstanden, wieso jede endliche Zahlenfolge in den Nachkommastellen von Pi bzw. von irgendeiner irrationalen Zahl auftauchen muss.

    Für mich ein einfaches Gegenbeispiel: Die Zahl 1,0110011100011110000… ist irrational, enthält aber nirgendwo die Zahlenfolge 12, allein deshalb, weil die Zahl 2 nicht vorkommt.

    Warum sollten die Nachkommastellen von Pi nicht auch irgendwelche Kombinationen auslassen?

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    • Die Behauptung war nicht, dass dies für jede irrationale Zahl gelte. Du hast ja selbst ein konstruiertes Beispiel (das ich erst für binär hielt) gebracht, das eben nicht jede Ziffernfolg enthalten kann.

      Aber bleiben wir mal bei π (und dem Dezimalsystem).
      Die einzelnen Ziffern können wir auffassen als Folge von (Pseudo-)Zufallszahlen. Jede Stelle ist unabhängig von der vorhergehenden.
      Soweit bekannt (aber bisher noch unbewiesen) kommen alle Ziffern von 0 bis 9 gleich häufig vor. Dann kann man jede endliche Ziffernfolge irgendwann in den Nachkommastellen entdecken. Genau das macht ja die (nicht-periodische) Unendlichkeit aus.
      Nehmen wir mal den Fall, dass sich das bei π irgendwo ganz, ganz, weit hinten ändern würde, und einzelne Ziffern seltener vorkämen. Das erscheint mir zwar unplausibel, aber ich kann es auch nicht ausschließen. Im worst case gäbe es nur noch zwei unterschiedliche Ziffern (nur eine kann es nicht sein, die wäre dann ja periodisch und π somit doch nur rational), die sich unregelmäßig abwechseln würden.
      Dann könnte man die Daten anders kodieren, dass sich letztendlich trotzdem jede Datenstruktur selbst in dieser reduzierten Ziffernmenge fände.
      Jetzt kannst du immer noch einwenden, dass die übrigen zwei Ziffern sich ja auch wie in deinem Beispiel (mit abwechselnden Gruppen von Nullen und Einsen mit zunehmender Länge) abwechseln könnten. Es gibt keinerlei Hinweise darauf, aber (spontan) könnte ich diese Hypothese auch nicht widerlegen.

      Sollten also bei π tatsächlich Ziffernfolgen nicht vorkommen, so bietet der reelle Zahlenstrahl trotzdem noch unendlich viel Platz für Zahlen, deren Nachkommastellen sich unregelmäßig abwechseln und statistisch gleichverteilt (ist gar nicht zwingend nötig, es reicht dass keine Ziffer völlig „ausstirbt“) sind, so dass sie jede endliche Zahlenfolge enthalten (ob sie der Berechnung durch Formeln zugänglich sind, wäre eine andere Frage). Ihre Existenz ließe sich (mit genügend Zeitaufwand) hieb und stichfest mathematisch beweisen. Bei einer konkreten Zahl wie π leider (noch) nicht.

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      • Renton schreibt:

        Dass man Daten immer so kodieren kann, dass sie sich in den Nachkommastellen von Pi wiederfinden lassen, ist ja klar. Man kann z.B. definieren:
        Der gesamte Wortlaut der Bibel werde durch die Zahlenfolge „1“ codiert.
        Dann werde ich bereits in der ersten Nachkommstalle von Pi fündig. Pi enthält die Bibel! Der Herr hat uns ein Zeichen gesandt! Gott existiert!
        Ist natürlich albern.

        Die eigentliche Behauptung, die ich für unbewiesen halte, ist, dass jede beliebige, endliche Zahlenfolge in den Nachkommastellen von Pi vorkommt. (Und damit also auch, dass beispielsweise der Text Deines Blogs darin zwingend vorkommt, wenn (ganz wichtig: wenn) man den Text nicht so codiert hat, dass man vorher schon weiß, dass er vorkommt.)

        Das funktioniert meines Erachtens nämlich nur, wenn die Nachkommastellen von Pi eine unendlich lange Folge von echten Zufallszahlen sind, bzw. zumindest wie eine solche Folge. Aufgrund des Wesens der Unendlichkeit konvergiert dann die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder endlichen Zahlenfolge gegen 1. Aber schon eine schwache Struktur könnte (nicht muss) verhindern, dass dein Blog, der hier stellvertretend für eine bestimmte endliche Zahlenfolge stehen soll, irgendwo in den Nachkommastellen von Pi auftaucht. Die schwachste Struktur, die ich mir da ausdenken mag, ist die, dass nämlich genau die endliche Zahlenfolge, die man sucht, nicht vorkommt.

        Und solange eben nicht bewiesen ist, dass die Nachkommastellen von Pi eine unendliche Abfolge von echten Zufallszahlen sind oder wenigstens wie eine unendliche Abfolge von echten Zufallszahlen sind, sind meines Erachtens Behauptungen wie „Alles ist in Pi codiert, irgendwann, irgendwo“ unbewiesene Spekulation.

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        • Sempersolus schreibt:

          Was für eine armselige Vorstellung von Unendlichkeit soll das denn sein?

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          • Seine Einwände sind ja nicht von der Hand zu weisen.

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          • Sempersolus schreibt:

            Setzen wir in einer gedachten neuen Mathematik für Pi den Wert 1, dann wäre die unendliche Anzahl von Zahlen, die wir jetzt als natürliche bezeichnen eine Sammlung rationaler Zahlen mit unendlichen Nachkommastellen. Wie wahrscheinlich ist es bitte, dass keine dieser Zahlen eine echte Zufallszahl wäre, weil wir ja die Hypothese aufstellen, dass Pi keine echte Zufallszahl sei?

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          • Renton schreibt:

            Ich bin heute nur zu 50% auf Krawall gebürstet. Such dir eine der folgenden zwei Antworten aus:

            1. Unendlich lang ist nicht identisch mit unendlich vielfältig. Romantische Vorstellungen von Unendlichkeit sind generell fehl am Platz.

            oder

            2. Was für eine armselige Frage soll das denn sein?

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        • Der gesamte Wortlaut der Bibel werde durch die Zahlenfolge „1“ codiert.

          So war das aber nicht gemeint. Es ging z.B. darum, ob man ASCII oder Unicode nimmt, meinetwegen auch irgendeinen Caesarcode, oder was immer geeignet ist, um die Informationsmenge verlustfrei zu erhalten.

          Wir können uns gerne darauf einigen, dass es für π nicht bewiesen (habe ich IIRC auch nie behauptet), sondern eine reine Glaubensfrage ist.
          Wenn ich jetzt mehr Zeit hätte, würde ich ja gerne einen Beweis skizzieren, dass (überabzählbar unendlich viele) reelle Zahlen existieren, die die Eigenschaft haben, dass sie jede endliche Ziffernfolge enthalten.
          Für π ist unmittelbar ersichtlich, dass sie jede Ziffer von 0 bis 9 enthält. Dass sie alle 100 zweistelligen Ziffernfolgen von „00“ bis „99“ enthält, ließe sich anhand der bekannten Stellen leicht nachprüfen. Ebenso die dreistelligen von „000“ bis „999“. Ich weiß nicht, welche maximale Länge n für die 10^n Folgen mit n Ziffern die bekannten Stellen von π abdecken.
          Zweifellos müssen Zahlen existieren (notfalls konstruieren wir sie, indem wir einfach sämtliche Ziffernfolgen hintereinander anhängen, oder die einzelnen Gruppen beliebig permutieren oder zusätzliche Ziffern dazwischen einfügen ..), bei denen dieses n beliebig groß werden kann. Ob π zu dieser Menge dazugehört, darf man vermuten, weiß man aber nicht. Andererseits – warum sollte ausgerechnet bei π n begrenzt sein?

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          • Renton schreibt:

            Einigen wir uns doch darauf, dass es für π nicht bewiesen ist, aber dass es auch keine Glaubensfrage ist. Was man nicht weiß, weiß man nicht.

            „warum sollte ausgerechnet bei π n begrenzt sein?“

            Das weiß man eben auch nicht. Bis zum Beweis des Gegenteils ist bequem vorstellbar: Sei F eine Ziffernfolge aus den Ziffern 0..9 der Länge k, k>>1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei die k-te Ziffer eine 0. Wenn die Nachkommastellen von π nun die schwache Eigenschaft haben, die ersten k-1 Ziffern in der richtigen Reihenfolge zu enthalten, aber es folgt darauf nie die 0, kann π sogar mit Ausnahme der Teilmenge von Zahlenfolgen, die F enthalten, alle anderen Zahlenfolgen, auch unendlich lange, enthalten.

            Die Crux: Man weiß es nicht.

            „habe ich IIRC auch nie behauptet“

            Naja… ich zitiere mal nur Deine finale, „größte“ Behauptung: „Irgendwo in pi ist das vollständige Wissen des gesamten Universums kodiert.“ Und ich schätze mal, die Vorbemerkung „passend kodiert“ sollte nur bedeuten, so zu codieren, dass das Wissen als Abfolge der zehn Ziffern 0..9 vorliegt, nicht, so zu verfahren, wie ich es mit der Bibel gemacht habe.

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            • Es gibt vieles, was man nicht weiß (BTW wesentlich mehr, als was man tatsächlich mit absoluter Sicherheit „weiß“). Trotzdem kann es sinnvoll sein, plausible Hypothesen anzunehmen und zu verwenden (immer im Hinterkopf, dass sie eben nicht bewiesen sind).

              Mein Blog besteht ja nicht aus wissenschaftlichen Abhandlungen. Die Einträge sind eher als Essays konzipiert, in denen ich mich bemühe, allgemeinverständlich und locker über die jeweiligen Themen zu plaudern, um auch Personen ohne Vorkenntnisse dafür zu interessieren.
              Ich will also gar nicht spitzfindig werden, aber meine „finale, \“größte\“ Behauptung: \“Irgendwo in pi ist das vollständige Wissen des gesamten Universums kodiert.\“ ist eben im Kontext von – um mich selbst zu zitieren

              Man nimmt an, dass die Ziffern bei pi und anderen transzendenten Zahlen statistisch gleichverteilt, also „normal“ sind. Mathematisch bewiesen ist das aber noch nicht.

              zu lesen.

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            • Renton schreibt:

              Fair enough, mit dieser Vorbemerkung bist Du natürlich aus dem Schneider. Hatte ich überlesen, sorry.

              Mit ging es auch mehr darum, die Sache einmal mit jemandem durchzudiskutieren. Denn da ich wohl leider nicht der einzige bin, der eine Vorbemerkung wie die Deine überliest, hört man die unbewiesene Vermutung, alles käme in den Nachkommastellen von Pi vor, desöfteren, vorgebracht mit soviel Überzeugung, als wäre das bewiesen. Da habe ich mich irgendwann gefragt, ob der Denkfehler nicht bei mir liegt.

              Insofern: Danke fürs Diskutieren 🙂

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