Gewinnfluide Lose //2120

Nicht nur in Bayern gab es kürzlich Aufregungen, weil die Mathematik-Abiturprüfung angeblich besonders schwer gewesen sei.
Meine eigenen Quellen hatten kurz danach noch gemeint: „War ganz OK“, bzw. „ging so“.
In Bayern soll vor allem folgende Aufgabe (danke an Pendolino für die Info) für Unmut gesorgt haben:

„Bei einer Losbude wird damit geworben, dass jedes Los gewinnt. Lose und Sachpreise sind dabei den drei Kategorien \“Donau\“, \“Main\“ und \“Lech\“ zugeordnet. Im Lostopf sind viermal so viele Lose der Kategorie \“Main\“ wie der Kategorie \“Donau\“. Ein Los kostet einen Euro. Der Inhaber hat für die Sachpreise der Kategorie \“Donau\“ einen Stückpreis von 8 Euro gezahlt, für die Kategorie \“Main\“ 2 Euro je Stück und für \“Lech\“ 20 Cent pro Stück.
Frage: Ermitteln Sie den Anteil der Lose der Kategorie \“Donau\“, wenn der Inhaber im Mittel einen Gewinn von 35 Cent pro Los erzielen will.“

(Ich hoffe, ich habe den Text richtig abgetippt.)
Wer die Aufgabe noch nicht kannte, aber gerne versuchen würde, sie zu lösen, hat jetzt Gelegenheit dazu, bevor er weiterliest. (Wir warten so lange ..)
Spoilerwarnung: Lösung folgt.
Triggerwarnung: Die folgende Darstellung enthält Spuren von Mathematik.

Wie ich erst später erfuhr, wurde diese Aufgabe der Stochastik zugeordnet. Aber wenn man davon ausgeht, dass sämtliche Lose verkauft und alle Gewinne auch ausgegeben werden, so ist das viel eher Kostenrechnung (OK, dafür müsste man auch noch Kosten für Herstellung und Transport der Lose, Bezahlung der Verkäufer, Standmiete, Versicherung, Steuer, und was weiß ich, was sonst noch alles anfällt, mitberücksichtigen. Da in der Aufgabenstellung davon nichts angegeben ist, subsummieren wir das alles in den „Gewinn“ von 35 Cent pro Los). Von Statistik oder Kombinatorik muss man jedenfalls nie etwas gehört haben, um diese Aufgabe lösen zu können. Es geht darum, wieviel Geld ausgegeben werden muss, und wieviel wieder eingenommen wird. Das hat überhaupt nichts mit Wahrscheinlichkeiten zu tun.

Ich habe den Ansatz über die mittleren Gesamtkosten pro Los in Euro gewählt. Der Einfachheit halber schreibe ich D, M und L für die Losanteile der Kategorien „Donau“, „Main“ und „Lech“.
Dann ist 8*D + 2*M + 0.2*L = 1 – 0.35 = 0.65. (A)
Meiner Ansicht nach war die größte Schwierigkeit, darauf zu kommen, dass die mittleren Kosten pro Los 0.65 Euro betragen müssen, wenn ein Gewinn von 35 Cent angepeilt ist. Irritierend war vielleicht auch, dass keine Gesamtanzahl der Lose angegeben ist.
Außerdem erfahren wir, dass es viermal so viele Main-Lose wie Donau-Lose gibt – also M = 4*D. (B)
Schließlich muss die Summe aller Anteile 1 betragen: D + M + L = 1. (C) [Erinnert mich jetzt gerade an die 3Könige.]
Drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Das ist einfachste Lineare Algebra und somit Mittelstufenstoff. Von jemandem mit Abitur oder mittlerer Reife würde ich erwarten (na, sagen wir lieber erhoffen), dass er diese Aufgabe lösen kann.
(B) in (C) eingesetzt und nach L aufgelöst ergibt L = 1 – 5*D. (D)
Aus (B) und (D) in (A) eingesetzt, erhalten wir 8*D + 2*4*D + 0.2*(1 – 5*D) = 15*D + 0.2 = 0.65, also 15*D = 0.45 oder D = 0.03. (E)
Setzen wir (E) in (D) ein, ergibt sich für das gesuchte L schließlich L = 1 – 0.15 = 0.85. Also müssen 85 Prozent aller Lose nur einen Billiggewinn liefern, bei denen die Loskäufer draufzahlen. Dieses Glückspiel hätte eher eine Vorlage für eine Aufgabe für Stochastik liefern können. Aber die 35 Cent, die „nur die Bank“ gewinnt, waren ja schon angegeben.

Diese Prüfungsaufgabe ist mit ein wenig Nachdenken ganz sicherlich lösbar, auch wenn sie vielleicht nicht den typischen Standardaufgaben entspricht. Man braucht weder zu differenzieren, noch zu integrieren. Noch nicht einmal umständliche Kombinatorik ist nötig. Lediglich sein Gehirn muss man mal benutzen.
Einen Chi-Quadrat-Test würde ich auch nicht mehr aus dem Stegreif hinkriegen, aber das braucht man hier ja auch gar nicht.
Als ich am Wochenende in der alten Heimat war, habe ich die Aufgabe übrigens mal meinem Vater vorgelegt. Er hat nur Hauptschulabschluss (für den Besuch einer höheren Schule fehlte das Geld) und ist seit etlichen Jahren nicht mehr berufstätig. Stochastik ist ihm kein Begriff. Trotzdem hatte er die Lösung bereits nach mehreren Minuten.
Eigentlich ist es ein Trauerspiel, dass solche läppischen Aufgaben das Abiturniveau immer weiter sinken lassen.