Undecentum //2084

Auf die Gefahr hin, euch wieder mal völlig zu langweilen, möchte ich heute über ein Zahlenspielchen schreiben, das mich in meiner Kindheit faszinierte und stundenlang fesseln konnte. Keine Angst, ich verspreche immerhin, euch nicht mit Herleitungen oder Beweisen zu quälen.

Die „Neunerprobe“ ist einigermaßen allgemein bekannt. Wenn man die Quersumme einer Zahl berechnet, und iterativ weiter, bis man nur noch eine einstellige Zahl hat, so erhält man den Neunermodulo (falls die iterierte Quersumme gleich 9 ist, wäre der Modulo 0).
Eigentlich ist dieses Verhalten bei anderen Zahlenbasen analog. Im Hexadezimalsystem beispielsweise funktioniert es mit 15, also Basis minus 1.
Schon weniger bekannt ist die „Elferprobe“, bei der man die alternierende Quersumme berechnet – die Ziffern also abwechselnd addiert und subtrahiert. Ziffern auf ungeraden Stellen werden zusammengezählt und davon die Summe der Ziffern auf geraden Stellen abgezogen. Die alternierende Quersumme kann auch negativ werden. Dann zählt man einfach (ein Vielfaches von) 11 dazu, bis sie wieder größer oder gleich 0 ist. Durch wiederholte Anwendung erhält man eine Zahl zwischen 0 und 10. Das ist gleich dem Elfermodulo.
Auch auf andere Zahlenbasen lässt sich das Vorgehen übertragen. Diesmal geht es um die Zahl, die um eins größer ist als die Basis – in Hex also 17.

Irgendwann fand ich heraus, dass man beides kombinieren kann. Wenn man die Ziffern einer (natürlichen) Zahl von rechts nach links in Zweiergruppen aufteilt, und diese Paare dann aufsummiert (ggf. wiederholt, wenn das Ergebnis mindestens 100 ist), erhält man schließlich eine Zahl zwischen 1 und 99 (wobei 0 mit 99 eigentlich in diesem Zusammenhang äquivalent ist). Deshalb nannte ich das Spiel „die Neunundneunzig“.
Auch hexadezimal ginge das Ganze, allerdings mit 255 (0xFF), oder binär mit 3. Für eine allgemeine Basis b wäre (b – 1)*(b + 1) = b^2 -1 relevant.

Etliche Stunden habe ich damit verbracht, Tabellen zu malen, in die ich viele Zahlen eintrug, farbig hervorhob, und so weiter.
Ich fing an, jedem Tag einen 99-er Modulo zuzuweisen. Der Clou ist, dass das unabhängig vom Datumsformat funktioniert. Ich addierte also Tag, Monat, Jahrhundertzahl (das war damals noch 19) und die beiden letzten Ziffern der Jahreszahl. Für heute wäre das beispielsweise 26 + 3 + 20 + 19, was 68 ergibt.
Blöderweise gab es bei jedem Monatswechsel einen unwillkommenen Sprung, weil die Monate nur etwa 30 Tage haben.
Damals wusste ich noch nicht, was ein Hash ist, aber man kann den 99-er Modulo durchaus als Hashwert betrachten, auch wenn das hier nur 6.6 bit sind.

Bleiben wir mal bei der heutigen 68. Ihre Quersumme ist 6 + 8 = 14. Davon die Quersumme ist 1 + 4 = 5, was dem Neunermodulo entspricht. 68 = 7*9 + 5. Die alternierende Quersumme von 68 ist 8 – 6 = 2. Das ist auch ihr Elfermodulo. 68 = 6*11 + 2.
Wer sich jetzt die Mühe macht, das heutige Datum (formatiert je nach Belieben als YYYYMMDD, DDMMYYYY, oder meinetwegen auch MMDDYYYY oder eine der drei weiteren Permutationsmöglichkeiten) ganzzahlig durch 9 bzw. 11 zu dividieren, wird als Rest jedesmal 5 respektive 2 erhalten. Ist das nicht wirklich faszinierend?