breakplaining: Integration //1930

Wer integrieren will, muss vorher differenzieren können.
Ein Blogeintrag reicht natürlich bei weitem nicht aus, das Thema umfassend zu behandeln, so dass ich nur ein paar selektive Gedanken dazu äußern werde.
Integrabilitätsbedingungen, unterschiedliche Integraldefinition (wie Lebesgue oder Riemann) werden genauso außen vor bleiben wie Umlauf-, Flächen- oder Volumenintegrale (obwohl gerade letztere mir ein Aha-Erlebnis bescherten, als ich zum ersten Mal davon hörte).
Nach reiflicher Überlegung werde ich darauf verzichten, meine Ausführungen mit Formeln zu unterlegen, obwohl WordPress inzwischen LaTeX unterstützt (an dieser Stelle noch mal Dank an @sci_fanboi, der mich darauf hinwies, dass LaTeX mittlerweile geht). Dieses Blog soll weiterhin als reines text/plain und ohne Formattierungen bestehen (gelegentliche davon abweichende Anhänge behalte ich mir vor).

In der Schule wird man an den Integrationsbegriff herangeführt, indem man die Fläche unter einer Kurve berechnet – genauer gesagt, die Fläche , die von zwei festen Abszissenwerten, der Abszisse selbst und der Funktion begrenzt wird. Nach etwas Schulmathematik ergibt sich der Flächeninhalt als Differenz der Stammfunktionen der Abszissenwerte.
Die Stammfunktion ist dabei eine Funktion, die im Wesentlichen die aufkumulierte Ursprungsfunktion in Abhängigkeit vom Abszissenwert angibt. Differenziert man die Stammfunktion, so erhält man wieder die Ursprungsfunktion. Ist das nicht faszinierend?

Im Gegensatz zur Differentiation lassen sich nicht alle Funktionen einfach analytisch integrieren. Es gibt zwar einige Methoden (z.B. partielle Integration), aber die funktionieren nicht immer. Beliebt ist es etwa, die Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln, und dann die einzelnen Glieder zu integrieren.
Wenn analytisch gar nichts mehr weiter hilft, bleibt noch die Numerische Mathematik – sprich Berechnung auf einem Computer. Dafür hatte es mir besonders das Romberg-Verfahren angetan, bei dem die Fläche unter einer Kurve für verschiedene Schrittweiten berechnet wird, und dann auf die Schrittweite 0 extrapoliert wird.
Aber auch das funktioniert nicht immer. Spätestens dann, wenn man über mehrere Variablen integrieren muss, oder teils komplzierte Randbedingungen hat, geht oft nur noch ein Monte-Carlo-Verfahren. (Und auch das kann schiefgehen, wenn man irgendwo im Integrationsgebiet eine Singularität hat.)

Dabei ist die numerische Integration um einiges robuster als die entsprechende Differentiation, weil es bei ersterer um Summen geht, bei letzterer um Differenzen, die sich – wenn man Pech hat – gegenseitig wegheben können.
Bei elektrischen Schaltungen ist eine Art analoge Integration möglich, indem man einen Tiefpassfilter (RC-Glied) zuschaltet.

Ach ja .. und wer sich schon mal gefragt hat, nach welchem Wissenschaftler, der die Infinitesimalrechnung entwickelte, ein Keks benannt wurde – das war Leibniz.

Dieser Eintrag wurde inspiriert von der Blogparade „Integration, was wir darunter verstehen und dafür tun können“.