breakplaining: Fourier //1876

Was mich gleich im ersten Semester besonders fasziniert hat, waren Fourieranalyse- und synthese.
Ein Blogeintrag ist sicher nicht geeignet, das Thema vollumfänglich zu betrachten, aber einen kleinen – stark vereinfachten – Einblick kann ich schon geben.

Es geht zunächst darum, periodische Vorgänge als Überlagerung von höherfrequenten Anteilen darzustellen.
Ein periodischer Vorgang hat eine definierte Periodendauer. Der Kehrwert davon ist die Grundfrequenz. Die ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz bilden die Oberfrequenzen.
Eine Fourierreihe ist die Aufsummierung der einzelnen Oberschwingungen zu einem einzelnen Signal. Um die einzelnen Koeffizienten (also Gewichtsfaktoren) zu erhalten, führt man eine Fourieranalyse durch. Dabei wird die Ursprungsfunktion mit den einzelnen Schwingungen der Oberfrequenzen multipliziert, und über die gesamte Periodendauer integriert (na, toll! Jetzt habe ich es geschafft, das ganze sowohl unverständlich als auch inkorrekt zu formulieren).
Wie auch immer – auf diese Weise lassen sich beispielsweise Rechteck-, Dreieck- oder Sägezahnsignale als Summe einzelner harmonischer Schwingungen darstellen. Diese Fouriersynthese nutzt man etwa bei einem elektrischen Funktionsgenerator.

Als einfachstes Beispiel stellen wir uns eine Funktion vor, die +1 in [0;pi[ ist, -1 in [pi;2 pi[, und periodisch fortgesetzt wird – der Graph sieht dann etwa aus wie Burgzinnen. Diese Funktion multiplizieren wir mit sin(n x), und integrieren über eine volle Periode (also von 0 bis 2 pi). In diesem einfachen Fall können wir uns auf den Sinus beschränken, und brauchen nicht auf irgendwelche zusätzlichen Phasen zu achten, da es sich um eine ungerade Funktion handelt. Nach einfacher Rechnung (die latexfrei aber kaum lesbar wäre) ergeben sich als Koeffizienten 4/n, wenn n ungerade ist, sonst 0.
Die Rechteckfunktion lässt sich also (bis auf einen konstanten Faktor 4, unterschlagen habe ich dabei auch noch die Division durch die halbe Periodendauer, also pi) darstellen als Summe sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + …

Erwähnenswert in diesem Zusammenhang ist noch das Gibbs’sche Phänomen, das bei den Sprungkanten zuschlägt, indem dort überhöhte Werte angenommen werden.

Noch spannender wird die Angelegenheit, wenn man von periodischen Vorgängen auf aperiodische übergeht. Im Prinzip lässt man die Periodendauer der Grundfunktion gegen unendlich gehen. Aus der Fourieranalyse wird eine Fouriertransformation. Aus diskreten Frequenzen wird ein kontinuierliches Spektrum.
„Wozu braucht man sowas?“, wird sich nun sicher der eine oder andere fragen. Fooriertransformierte sind manchmal ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung von Differentialgleichungen.
Bei manchen Anwendungen ist es nötig, numerisch Fouriertransformationen auszuführen. FFT (Fast Fourier Transformation) ist ein Algorithmus, mit dem dies mit hoher Performance gemacht wird. Ich habe leider Einzelheiten vergessen, weiß nur noch, dass die Anzahl der Stützpunkte eine Zweierpotenz sein muss.

Ja, das hört sich jetzt alles sehr theoretisch an (ist es auch). Für mich ist das Beispiel eines Gewitters eine interessante Veranschaulichung. Bei einem Gewitter findet eine schlagartige (i.e. extrem kurze) Entladung statt. Es ist bekannt, dass man dann erst den Blitz sieht, und den Donner erst später (in Abhängigkeit von der Entfernung) hört.
Fouriertransformiert man einen Deltapeak, so erkennt man, dass praktisch sämtliche Frequenzen vorhanden sind. Das sichtbare Licht sieht man als Blitz. Radio- und Fernsehsignale werden gestört. Niedrige Frequenzen stellen sich als Schall dar. Schallwellen breiten sich wesentlich langsamer als Licht aus, deshalb die Verzögerung des Donners gegenüber dem Blitz. Durch die Dispersion (Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz) ergibt sich das typische Donnergrollen.

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Um meine Breakplaining-Texte in Zukunft noch besser auf die Bedürfnisse meiner Leser abstimmen zu können, würde ich mich freuen, wenn sich möglichst viele an meiner kleinen Umfrage (nicht vom WP-Reader aus lesbar, nur direkt auf dem Blogeintrag) beteiligen würden.