breakplaining: Unendlich //1848

Recht verschwommen erinnere ich mich an eine Unterhaltung mit einer Klassenkameradin. Wir müssen so acht oder neun Jahre alt gewesen sein, wenn ich nicht irre.
Sie fragte mich: „Wie heißt die größte Zahl?“
„Es gibt keine ‚größte Zahl'“, stellte ich klar.
„Doch! Die Gotteszahl,“ meinte sie triumphierend. Musste sie wohl irgendwo mal aufgeschnappt haben.
„Was soll das sein?“
„Das ist die allergrößte Zahl, die es gibt.“
„Und wenn du noch eins dazuzählst, oder das doppelte nimmst?“

Nach dieser kleinen Annekdote geht es ernsthafter weiter.
Anlass für diesen Blogeintrag ist, dass mir in letzter Zeit öfter Formulierungen aufgefallen sind, in denen es um „unendliche Möglichkeiten“ oder „unendliche Chancen“ geht.
Gemeint sind jedoch nur „sehr viele“, oder meinetwegen „ungezählte“ oder „unvorherstellbar viele“ Möglichkeiten. Deren Anzahl mag enorm groß sein, aber sie ist nicht „unendlich“.
Unendlich ist ein mathematisches Konzept, symbolisiert als eine liegende Acht. Aber es existiert keine – wie auch immer geartete – Zahl die tatsächlich unendlich groß wäre. Jede Zahl ist nur endlich.

In der Natur gibt es keine Singularitäten (also Stellen, an denen eine physikalische Größe unendlich groß würde). Ein Dirac’scher Delta-Peak ist nur eine Näherung, die sich halt leichter berechnen lässt. Wenn in einer Messkurve (unter Berücksichtigung der Messgenauigkeit) scheinbare Polstellen, Sprünge oder Knicke vorkommen, dann ist das immer ein Hinweis darauf, dass an dieser Stelle etwas passiert. Wenn in einer Formel rein rechnerisch Unendlich vorkommt, dann bedeutet das, dass die dahinterstehende Theorie die Natur nur unzureichend abbildet.

In der Mathematik gibt es unterschiedliche Ausprägungen von Unendlichkeit. So sind natürliche Zahlen abzählbar unendlich, da man jede einzelne „zählen“ kann, indem man den Vorgänger inkrementiert. Auch rationale Zahlen (also Brüche) sind abzählbar unendlich. Das heißt, dass man mit einem geeigneten Algorithmus sämtliche rationalen Zahlen erwischen würde, wenn man seinem Schema (unendlich lange) folgen würde. Evident scheint es zu sein, dass es „mehr“ rationale als natürliche Zahlen gibt. Schließlich lässt sich aus jeder Kombination zweier beliebiger natürlicher Zahlen ein Bruch darstellen.
Irrationale Zahlen wie die Quadratwurzel von 2 oder transzendente wie pi erreicht man mit einem Abzählalgorithmus allerdings nie. Die reellen Zahlen sind überabzählbar unendlich.

Wie einfache Grenzwertbetrachtung in der Infinitesimalrechnung schon mit Schulmathematik zeigen, kann der Quotient zweier Grenzwerte, die jeweils Unendlich ergeben, jeden beliebigen Wert annehmen.
Potenzen von Unendlich sind stärker unendlich, als ein einfaches „lineares“ Unendlich. Und selbst das ist noch mächtiger als beispielsweise ein nur logarithmisches Unendlich.
Selbst Googolplex hoch Googolplex, und davon die Fakultät, ist noch irre weit von Unendlich entfernt, ein vernachlässigbarer Bruchteil der Unendlichkeit, so immens und unermesslich diese Zahl auch erscheinen mag. Ganz egal, wie riesengroß man eine Zahl auch wählen mag – ihr Kehrwert erreicht trotzdem niemals ganz die Null.

Wer hat schon mal (verbotenerweise!) versucht, durch 0 zu teilen?
Frühere Computer muss es bei „Division by zero“ ziemlich zerbröselt haben, denn sie stürzten so heftig ab, dass nur noch ein Neustart half. Inzwischen lassen sich solche Exceptions abfangen, und es existieren IEEE-Gleitkommazahlen für NaN und Inf.

Selbst wenn wir ausrechnen könnten, wie viele Kombinationen von möglichen Zuständen sämtlicher Teilchen im gesamten Universum es gibt, wäre diese Zahl immer noch unendlich weit von Unendlich entfernt.

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