Vierzehnhundertachtzig

Die meisten Körpergewebe und -flüssigkeiten haben eine spezifische Dichte von wenigen Prozent mehr als Wasser. Eine Ausnahme ist das Knochenmaterial, das aufgrund des hohen Kalzium-Anteils eine Dichte von etwa dem 1.9-fachen von Wasser hat.
Die andere Ausnahme ist Fettgewebe, das ca. 5 Prozent leichter ist als Wasser.
Insgesamt hat ein normaler menschlicher (oder auch tierischer) Körper eine mittlere Dichte von deutlich über einem Kilogramm pro Liter.
Mit zunehmendem Fettanteil sinkt jedoch die mittlere Dichte, und kann im Extremfall (Körperfettanteil gegen 100%) sogar geringer als die von Wasser werden. Nicht umsonst gibt es das Sprichwort „Fett schwimmt oben“.

Als leicht messbare Größen von Menschen gibt es die Körperhöhe und die Masse (fälschlicherweise leider meist als „Gewicht“ bezeichnet).
Ich möchte im folgenden einige geometrische Überlegungen zum Zusammenhang der Masse von der Körperhöhe anstellen, unter der Annahme einiger plausibler Voraussetzungen.

Wenn die mittlere Querschnittsfläche eines Körpers (innerhalb eines gewissen Rahmens) konstant – d.h. unabhängig von der Körperhöhe selbst – ist (der Körper also wie ein Zylinder oder Quader wächst), erhalten wir für das Gesamtvolumen des Körpers eine lineare Abhängigkeit (bzw. sogar eine Proportionalität) von der Körperhöhe. Der andere Constraint wäre eine quadratische Abhängigkeit der mittleren Querschnittsfläche von der Körperhöhe, was bedeuten würde, dass das Volumen keine Vorzugsrichtung hat, sondern sich in alle Richtungen mehr oder weniger gleichmäßig (wie eine Kugel) ausdehnen würde. Offensichtlich liegt die gesunde Realität normalerweise näher beim ersten Fall, so dass es vernünftig für dV/dh ist, eine Potenz (höchstens geringfügig größer als) 1 anzunehmen. [sh. Anmerkung unten]

Die Oberfläche eines Körpers wächst i.A. quadratisch mit seiner Ausdehnung (was sich etwa in der Bergmann’schen Regel wiederspiegelt, dass nahe verwandte Tiere im Mittel in kälteren Gegenden größer sind als in wärmeren Gebieten, denn die Wärmeabstrahlung korreliert mit der Oberfläche, während die Wärmeproduktion mit dem Volumen korreliert).

Leider lässt sich die Oberfläche nicht direkt messen (bzw. nur sehr umständlich oder fehlerträchtig). Das Volumen ließe sich leichter (z.B. über Wasserverdrängung messen), aber unter Annahme einer konstanten mittleren spezifischen Dichte (mit der o.g. Einschränkung für hohe Fettanteile), ist es proportional zur Masse, die sich durch eine Wägung leicht feststellen lässt.

Wenn wir also von einer Skalensymmetrie ausgehen, und Volumen zu Oberfläche ins Verhältnis setzen, erhalten wir einen etwa konstanten Wertebereich, den wir als Norm betrachten können. Da sich das Volumen zur Oberfläche verhält, wie die Masse zum Quadrat der Körperhöhe, lässt sich als Maß der Body Mass Index nutzen, dessen Einheit übrigens (man kann es gar nicht oft genug wiederholen) Kilogramm pro Quadratmeter ist (aber was kann man schon von Leuten erwarten, die Kalorien und Kilokalorien nicht auseinanderhalten können).

Dies war einer meiner unvollendeten Artikel. Eigentlich sollte da noch ein Abschnitt über (numerische) Volumenintegration rein, aber irgendwie fand ich erst keine Überleitung, und später hatte ich keine Lust mehr dazu. Naja, so liefert mir das Thema Volumenintegration vielleicht irgendwann Stoff für einen eigenständigen Blogpost.
Vor allem (aber nicht nur) den Abschnitt mit der Querschnittsfläche hätte ich noch überarbeiten sollen. Der ist nicht wirklich schlüssig. Ich habe lange überlegt, ob ich ihn nicht ganz rauslöschen soll, habe ihn aber dann – mit Vorbehalt – doch behalten.