Tausendneunundachtzig

Seien a, b und c drei beliebige, ganze Zahlen zwischen 0 und 9, mit c ≤ b ≤ a, und a ≠ c.
Bilden wir nun i = a * 10² + b * 10 + c, und j = c * 10² + b * 10 + a.
Nun berechnen wir i – j = (a * 10² + b * 10 + c) – (c * 10² + b * 10 + a) =
= (a – c) * 10² + (b – b) * 10 + (c – a) = (10² – 1) * (a – c)
Hier ist b bereits eliminiert, und nur noch die Differenz a – c > 0 vorhanden, welche wir im Folgenden n nennen wollen: i – j = 99 * n (was bereits impliziert, dass diese Zahl durch n = a – c, und sowohl durch 9 als auch durch 11 teilbar ist. Die Teilbarkeit durch 9 ändert sich generell nicht bei Permutationen, und auch die Teilbarkeit durch 11 bleibt erhalten, wenn die erste und dritte Ziffer einer dreistelligen Zahl vertauscht werden). In Abhängigkeit von n ≥ 1 ist also i – j in {99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 794, 891}. Man beachte, dass die mittlere Ziffer stets 9, und die Summe der ersten und dritten Ziffer gleich 9 ist.
99 * n lässt sich auch schreiben als (n – 1) * 10² + 9 * 10 + (10 – n) , wie jeder leicht selbst verifizieren kann (oder zumindest können sollte).
Zu dieser Zahl addieren wir jetzt ihre Umkehrung (10 – n) * 10² + 9 * 10 + (n – 1), bei der die Koeffizienten vertauscht sind.
Also (n – 1) * 10² + 9 * 10 + (10 – n) + (10 – n) * 10² + 9 * 10 + (n – 1) =
= n * 10² – 100 + 90 + 10 – n + 10³ – n * 10² + 90 + n – 1 =
= 10³ + 90 – 1 =
= 1089, und das völlig unabhängig von der ursprünglichen Wahl der a, b, c.
Außerdem ist 1089 = 11 * 99 = 33².

Dies erinnert mich an ein kleines Spiel, das ich mir irgendwann als Kind selbst ausgedacht hatte:
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
Die Aufgabe an meine Mitspieler lautete: „Such‘ dir eine Zahl in der ersten Reihe aus, aber sag‘ nicht welche. Dann zählst du die Zahl dazu, die genau darunter steht, und ich sage dir das Ergebnis.“
Primitiv – ja, ich weiß. Aber als kleines Kind hat mich das dennoch amüsiert und fasziniert.