Vierhundertsiebzehn

Früher konnte ich die Formel für die Lorentz-Transformation der speziellen Relativitätstheorie aus dem Stand herleiten. Als Voraussetzung benötigte ich nur, dass das Licht sich in jedem Inertialsystem mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet.

Jetzt habe ich das wieder einmal probiert. Aber ich drehte mich nur irgendwie im Kreis und scheiterte. 😦
Also wagte ich einen Blick in die Wikipedia. Die dortige Herleitung basiert auf der Eigenzeit und ist bei weitem nicht so elegant, wie die Herleitung, die ich früher kannte.

Trotzdem hat mich jetzt der Ehrgeiz gepackt, und ich versuche im folgenden so eine Art Herleitung zu reproduzieren. Man möge mir Schwächen verzeihen.
Ich verzichte auf die Viererschreibweise, weil die Eingabe in HTML nur noch ätzend ist (Kostprobe: gμν xν = xμ, unter Berücksichtigung der Einstein’schen Summenkonvention).
Ich beschränke mich auf eine räumliche Dimension. Zusätzliche Dimensionen erhöhen nur die Schreibarbeit, bringen aber nichts wirklich neues. Schließlich könnte man auch das Koordinatensystem passend drehen.
Obwohl c selbstverständlich gleich eins ist, werde ich es mitschleppen. Diese rein kinetischen Formeln sehen dann doch irgendwie vertrauter aus – wenn ich schon das Wurzelzeichen nicht vernünftig formatieren kann.

Das infinitesimale Abstandsquadrat im Minkowski-Raum ist Lorentz-invariant.
Also gilt ds² = c² dt² – dx².

Die Eigenzeit dτ = ds/c = sqrt(ds²/c²) = sqrt(dt² – dx²/c²).

Mit der Geschwindigkeit v = dx/dt ergibt sich dτ = dt sqrt(1 – v²/c²).

Die Abkürzungen β = v/c und γ = sqrt(1 – β²) vereinfachen die Formel zu
τ = t sqrt(1 – β²) = t γ.
Soviel zur Zeitdilatation.

Aber das war nicht die Rechnung, die ich eigentlich wollte. Sorry, ich komme nicht mehr darauf. Vielleicht kann mir einer der mitlesenden Kollegen ja einen Tip geben.

Und wenn wir jetzt schon beim Thema der speziellen Relativitätstheorie sind, lässt mich mein Besserwisser-Gen nicht in Ruhe (obwohl ich mich gerade erst nicht mit Ruhm bekleckert habe), und treibt mich dazu, einen – sogar unter Experimentalphysikern – weit verbreiteten Irrtum aufzuklären:

Bei hohen Geschwindigkeiten ändert sich die Masse NICHT.
Was sich dagegen ändert, ist der Zusammenhang zwischen Energie und Impuls. Ansonsten hätte ein Körper in Bewegungsrichtung ja eine andere Masse als senkrecht zur Bewegungsrichtung. Die Masse würde sich also transformieren wie ein Tensor. Dem ist nicht so. Die Masse ist Lorentz-invariant.

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Über Anne Nühm (breakpoint)

Die Programmierschlampe.
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10 Antworten zu Vierhundertsiebzehn

  1. gelschter User schreibt:

    Hallo, ich denke, das Problem kommt davon, dass du nur ein Koordinatensystem berücksichtigt hast. Die Lorentz-Transformation sagt dir aber, wie du von einem Koordinatensystem zum anderen, der sich, bei dir in 1D parallel x, mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegt, wechseln kannst. Du musst nur die Invarianz vom infinitesimalen Abstandsquadrat in beiden Systemen schreiben, und dann kannst du die Transformation schreiben.

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    • breakpoint schreibt:

      Genau dieser eine Punkt in der Argumentationskette hatte mir noch gefehlt.
      Das infinitesimale Abstandsquadrat ist – unabhängig vom Koordinatensystem – genau deshalb Lorentz-invariant, weil sich das Licht in jedem Inertialsystem gleich schnell ausbreitet.

      Danke!

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  2. Lorentz schreibt:

    Ich verstehe nur Bahnhof. Bitte wieder back to topic and back to sex, drugs and rock’n’roll! YEAH!

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    • engywuck schreibt:

      wenn Du sowas nicht abkannst dürftest Du hier falsch sein.

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    • breakpoint schreibt:

      Lieber Lorentz,

      dieses Blog ist nicht invariant.
      Ich erlaube mir, verschiedene Themen nach meinem Gusto zu präsentieren, teilweise sogar mit gewissem intellektuellen Anspruch, oder gelegentlich eine kleine Fachsimpelei.

      Wenn du diesen Eintrag nicht verstanden hast, so teilst du dieses Schicksal vermutlich mit einem Großteil der Bevölkerung.

      Aber das macht überhaupt nichts. Es kommen auch wieder andere Themen.
      Inwieweit es sich dabei um „sex, drugs and rock’n’roll“ handelt, lässt sich natürlich nicht voraussagen.

      Ein schönes Pfingstwochenende und lg
      breakpoint

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  3. breakpoint schreibt:

    VierhundertsechzigIhr wollt über „Sex, Drugs, and Rock’n’Roll“ lesen?
    Sex hatte ich ja schon gelegentlich erwähnt. Auch „Drugs“ kamen schon vor. Einen Rock trage ich ohnehin oft, und rollig bin ich normalerweise auch.
    „Sex, Drugs, and Rock’n’Roll“ – das ist die modern…

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  4. breakpoint schreibt:

    SechshundertneunundzwanzigMeinen Ruf als Besserwisserinhabe ich eh schon weg – und dazu stehe ich auch – also schadet es nichts, wenn ich hier eine Liste weitverbreiteter Irrtümer und Fehler poste, über die ich mich immer wieder ärgern muss.

    * „Stundenkilometer“ statt Kilom…

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